Sai lầm khi giải bài toán tìm m để hàm số đạt cực đại (tiểu)

Chúng ta bắt đầu bằng đề và đáp án câu 6b trong đề thi học kì 1, môn Toán 12 của Sở GD-ĐT Thừa Thiên...

Chúng ta bắt đầu bằng đề và đáp án câu 6b trong đề thi học kì 1, môn Toán 12 của Sở GD-ĐT Thừa Thiên Huế (gọi là Bài toán 1).
Sai lầm khi giải bài toán tìm m để hàm số đạt cực đại (tiểu)
Cùng với bản đính chính (do chuyên viên Sở cung cấp, chỉ sửa dấu "tương đương" bởi dấu "suy ra", ngay sau y'(2)=0 và y''(2)>0), có thể tóm lược lời giải này gồm 2 bước như sau:
1) Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=2, suy ra y'(2)=0 và y''(2)>0, suy ra m=16.
2) Với m = 16, kiểm tra được hàm số đạt cực tiểu tại x=2 (nhờ bảng biến thiên).
Cả hai bước này đều có những sai lầm nghiêm trọng. Dễ thấy rằng, ở bước 2, tác giả đã vẽ bảng biến thiên sai. Tuy nhiên sai lầm trầm trọng nhất nằm trong bước 1.
Để bạn đọc thấy rõ sai lầm này, ta "làm tương tự" với bài toán sau:
Bài toán 2: Định m để hàm số y = m.x4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0.
Tương tự như lời giải của Bài toán 1, ta làm như sau:
Ta có y' = 4m.x3, y'' = 12m. x2. Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 nên: y'(0)=0 và y''(0)>0, điều này dẫn đến không có giá trị nào của m thỏa mãn. (Do đó khỏi cần làm bước 2).
Tuy nhiên, dễ thấy rằng, hàm số trên sẽ đạt cực tiểu tại x=0 với mỗi số dương m. Hình ảnh dưới đây minh họa cho trường hợp m=1.
sai lam khi giai toan, dieu kien du cua cuc tri
Hàm số này đạt cực tiểu tại x = 0.
Như vậy lời giải của chuyên viên Sở GD-ĐT Thừa Thiên Huế sai ở chỗ nào? Để trả lời câu hỏi này, trước hết ta xem lại 2 định lí trong sách giáo khoa Toán 12:
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị (Giải tích 12 nâng cao, trang 11):
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm a. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại a thì f'(a)=0.
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị (Giải tích 12 nâng cao, trang 15):
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 1 trên một khoảng chứa a, f'(a) = 0 và f có đạo hàm cấp 2 tại a.
(i) Nếu f''(a)>0 thì x=a là điểm cực tiểu.
(ii) Nếu f''(a)<0 thì x=a là điểm cực đại.
(Còn nếu f''(a) = 0 thì ta chưa kết luận được gì).

Từ đó có thể thấy, sai lầm của lời giải trên nằm ở chỗ: tác giả không phân biệt được đâu là điều kiện cần, đâu là điều kiện đủ. Đây là sai lầm mà nhiều học sinh (và cả một số giáo viên) thường mắc phải khi giải bài toán "tìm m để hàm số đạt cực đại (tiểu) tại một điểm".

Để kết thúc bài viết này, chúng tôi sửa lại lời giải Bài toán 1:
1) Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Khi đó, theo điều kiện cần của cực trị, ta có y'(2)=0, suy ra m=16.
2) Với m = 16, ta kiểm tra được hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 (có thể dùng bảng biến thiên hoặc điều kiện đủ của cực trị, tuy nhiên nên dùng "điều kiện đủ" cho nhanh).
Vậy m=16 là giá trị duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.

P.S. Nhiều bạn thắc mắc tại sao chúng tôi không công bố tất cả sai sót trong đáp án đề thi HK1 Toán 12,  như đã hứa ở cuộc thi do MATHVN tổ chức. Bài viết này chỉ chỉ ra lỗi sai trầm trọng nhất, các lỗi còn lại như: giải phương trình thiếu điều kiện; vẽ hệ trục không có Ox, Oy; tính toán sai, lỗi chính tả, đánh sai năm học; ... các bạn cũng dễ dàng tìm được. Xem toàn bộ đề và đáp án nhiều sai sót này ở đây.

COMMENTS

BLOGGER: 13
Loading...
Tên

6 môn thi Tốt nghiệp Ảnh đẹp Bài giảng điện tử Bạn đọc viết Bất đẳng thức Bđt Nesbitt Bổ đề cơ bản Bồi dưỡng học sinh giỏi Cabri 3D Các nhà Toán học Câu đối Cấu trúc đề thi Chỉ số thông minh Chuyên đề Toán Công thức Toán Cười nghiêng ngả Danh bạ website Dạy con Dạy học trực tuyến Dựng hình Đề cương ôn tập Đề kiểm tra 1 tiết Đề thi - đáp án Đề thi Cao đẳng Đề thi Cao học Đề thi Đại học Đề thi học kì Đề thi học sinh giỏi Đề thi THỬ Đại học Đề thi Tốt nghiệp Đề tuyển sinh lớp 10 Điểm sàn Đại học Điểm thi - điểm chuẩn Đọc báo giúp bạn Giải Nobel Giải thưởng FIELDS Giải tích Giải trí Toán học Giáo án điện tử Giáo án Hóa học Giáo án Toán Giáo án Vật Lý Giáo dục Giáo trình - Sách GS Hoàng Tụy GSP Gương sáng Hằng số Toán học Hình gây ảo giác Hình học không gian Hình học phẳng Khái niệm Toán học Khảo sát hàm số Kí hiệu Toán học LaTex Lịch sử Toán học Linh tinh Luận văn Luyện thi Đại học Lượng giác Lương giáo viên Ma trận đề thi MathType Microsoft phỏng vấn MTBT Casio Mũ và Logarit Ngô Bảo Châu Nhiều cách giải Những câu chuyện về Toán Olympiad Perelman Ph.D.Dong books Phần mềm Toán Phân phối chương trình Phụ cấp thâm niên Phương trình hàm Sách giáo viên Sai lầm ở đâu? Sáng kiến kinh nghiệm Số phức Sổ tay Toán học Tạp chí Toán học Thiên tài Thơ - nhạc Thủ thuật BLOG Thuật toán Thư Tích phân Toán 10 Toán 11 Toán 9 Toán Cao cấp Toán học Tuổi trẻ Toán học - thực tiễn Toán học Việt Nam Trắc nghiệm Toán Tuyển sinh Tuyển sinh lớp 6 Tỷ lệ chọi Đại học Vật Lý Vẻ đẹp Toán học Vũ Hà Văn Xác suất
false
ltr
item
Toán Học Việt Nam: Sai lầm khi giải bài toán tìm m để hàm số đạt cực đại (tiểu)
Sai lầm khi giải bài toán tìm m để hàm số đạt cực đại (tiểu)
http://3.bp.blogspot.com/-zvoSscMkJDs/Twmh8HvVEcI/AAAAAAAAAHI/rMkypHh6ZJw/s400/sai-lam-cuc-tri.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-zvoSscMkJDs/Twmh8HvVEcI/AAAAAAAAAHI/rMkypHh6ZJw/s72-c/sai-lam-cuc-tri.jpg
Toán Học Việt Nam
http://www.mathvn.com/2012/01/sai-lam-khi-giai-bai-toan-tim-m-e-ham.html
http://www.mathvn.com/
http://www.mathvn.com/
http://www.mathvn.com/2012/01/sai-lam-khi-giai-bai-toan-tim-m-e-ham.html
true
2320749316864824645
UTF-8
Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All BÀI VIẾT LIÊN QUAN LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS CONTENT IS PREMIUM Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy