Sai lầm khi giải bài toán tìm m để hàm số đạt cực đại (tiểu)
08-01-2012
9 bình luận
1) Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=2, suy ra y'(2)=0 và y''(2)>0, suy ra m=16.
2) Với m = 16, kiểm tra được hàm số đạt cực tiểu tại x=2 (nhờ bảng biến thiên).
Cả hai bước này đều có những sai lầm nghiêm trọng. Dễ thấy rằng, ở bước 2, tác giả đã vẽ bảng biến thiên sai. Tuy nhiên sai lầm trầm trọng nhất nằm trong bước 1.
Để bạn đọc thấy rõ sai lầm này, ta "làm tương tự" với bài toán sau:
Bài toán 2: Định m để hàm số y = m.x4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0.
Tương tự như lời giải của Bài toán 1, ta làm như sau:
Ta có y' = 4m.x3, y'' = 12m. x2. Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 nên: y'(0)=0 và y''(0)>0, điều này dẫn đến không có giá trị nào của m thỏa mãn. (Do đó khỏi cần làm bước 2).
Tuy nhiên, dễ thấy rằng, hàm số trên sẽ đạt cực tiểu tại x=0 với mỗi số dương m. Hình ảnh dưới đây minh họa cho trường hợp m=1.
 |
| Hàm số này đạt cực tiểu tại x = 0. |
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị (Giải tích 12 nâng cao, trang 11):
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm a. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại a thì f'(a)=0.
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị (Giải tích 12 nâng cao, trang 15):
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 1 trên một khoảng chứa a, f'(a) = 0 và f có đạo hàm cấp 2 tại a.
(i) Nếu f''(a)>0 thì x=a là điểm cực tiểu.
(ii) Nếu f''(a)<0 thì x=a là điểm cực đại.
(Còn nếu f''(a) = 0 thì ta chưa kết luận được gì).
Từ đó có thể thấy, sai lầm của lời giải trên nằm ở chỗ: tác giả không phân biệt được đâu là điều kiện cần, đâu là điều kiện đủ. Đây là sai lầm mà nhiều học sinh (và cả một số giáo viên) thường mắc phải khi giải bài toán "tìm m để hàm số đạt cực đại (tiểu) tại một điểm".
Để kết thúc bài viết này, chúng tôi sửa lại lời giải Bài toán 1:
1) Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Khi đó, theo điều kiện cần của cực trị, ta có y'(2)=0, suy ra m=16.
2) Với m = 16, ta kiểm tra được hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 (có thể dùng bảng biến thiên hoặc điều kiện đủ của cực trị, tuy nhiên nên dùng "điều kiện đủ" cho nhanh).
Vậy m=16 là giá trị duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.
P.S. Nhiều bạn thắc mắc tại sao chúng tôi không công bố tất cả sai sót trong đáp án đề thi HK1 Toán 12, như đã hứa ở cuộc thi do MATHVN tổ chức. Bài viết này chỉ chỉ ra lỗi sai trầm trọng nhất, các lỗi còn lại như: giải phương trình thiếu điều kiện; vẽ hệ trục không có Ox, Oy; tính toán sai, lỗi chính tả, đánh sai năm học; ... các bạn cũng dễ dàng tìm được. Xem toàn bộ đề và đáp án nhiều sai sót này ở đây.
Bài viết có 9 bình luận
không phân biệt được đk cần và đk đủ làm sao đủ khả năng để làm chuyên viên sở. thành phố huế hết người hay sao mà không ai thay chuyên viên này Delete
bài trong đề thi Huế tương tự bài 2.3 trong đề thi tốt nghiệp 12 năm ngoái. người ra đề không tham khảo đáp án của bộ nên để xảy ra sai lầm Delete
Hiện nay đang hưởng ứng cách đổi mới cách kiểm tra đánh giá trong trường THPT thì khâu ra đề theo ma trận đề là cực kì quan trọng,người làm đề thi cho cả tỉnh thậm chí cả nước mà đề sai kiến thức nhầm lẫn trong tính toán thì gây tai hại cho cả hệ thống giáo dục.Qúy báo Math.vn viết bài này là cảnh tỉnh những ai ra đề hãy cẩn thận cho từng đơn vị kiến thức câu chữ phổ thông phù hợp, lãnh đạo giao cho người ra đề phải chọn mặt gửi vàng, người có kiến thức sâu rộng và cầu toàn thì đề và đáp án mới an toàn không có sự cố.Trong học kì một năm nay tôi có xem báo mạng lần này là lần thứ 3 sai đề của các khu vực thi. Hãy coi đây là bài học cần thiết cho những ai sản xuất đề thi không mắc phải sai lầm tương tự, tôi xin chân thành cảm ơn quý báo chỉ bảo những điều bổ ích Delete
Day la mot bai de ma lai sai, chan qua.
De thi GVDG cua THPT YP2 Bn cung co mot bai tuong tu, co loi giai sai nhu da neu va GV lam thi phai chi ra loi sai do va de ra loi giai dung.
Delete
Đăng nhận xét
» Hãy trở thành cộng tác viên bằng cách gửi bài đến mathvn.com để được đăng tải. Xem hướng dẫn chi tiết cách bạn đọc gửi bài.