Hình vẽ bài tập 5.29 SGK Toán 9 Kết nối tri thức, phần Luyện tập chung - chương V. Hình vẽ BT 5.29 SGK Toán 9 KNTT a) $(T_1)$ và $(T_2)$ ...
Hình vẽ bài tập 5.29 SGK Toán 9 Kết nối tri thức, phần Luyện tập chung - chương V.
a) $(T_1)$ và $(T_2)$ là hai đường tròn đồng tâm với tâm $O$ là điểm trục của hai kim. Chú ý rằng $(T_2)$ là đường tròn tạo bởi đầu kim ngắn nên $R_2$ < $R_1$. (1)
b) Gọi $O’$ là tâm và $R_3$ là bán kính của đường tròn $(T_3)$, theo đề bài ta có:
$R_3$ = $\dfrac{1}{2}~$$R_2$ và $OO’$ = $\dfrac{1}{2}~$$R_1$. (2)
• Xét hai đường tròn $(T_1)$ và $(T_3)$, tức là (O; $R_1$) và (O’; $R_3$). Từ (1) và (2) ta có:
$R_1$ – $R_3$ = $R_1$ – $\dfrac{1}{2}~$$R_2$ = $\dfrac{1}{2}~\left( {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right)+\dfrac{1}{2}~{{R}_{1}}$ > $\dfrac{1}{2}~$$R_1$, suy ra $R_1$ – $R_3$ > $OO’$.
Do đó $(T_1)$ đựng $(T_3)$.
• Xét hai đường tròn $(T_2)$ và $(T_3)$, tức là hai đường tròn (O; $R_2$) và (O’; $R_3$). Từ (2) ta có:
$R_2$ – $R_3$ = $R_2$ – $\dfrac{1}{2}~$$R_2$ = $\dfrac{1}{2}~$$R_2$ > 0. (3)
Mặt khác, $R_2$ + $R_3$ = $R_2$ + $\dfrac{1}{2}~$$R_2$ = $\dfrac{3}{2}~$$R_2$ . Do đó:
– Nếu 3$R_2$ > $R_1$ thì $R_2$ + $R_3$ = $\dfrac{3}{2}~$$R_2$ > $\dfrac{1}{2}~$$R_1$ = $OO’$, tức là $R_2$ + $R_3$ > $OO’$. Điều đó cùng với (3) cho ta thấy $(T_2)$ và $(T_3)$ cắt nhau.
– Nếu 3$R_2$ = $R_1$ thì $R_2$ + $R_3$ = $\dfrac{3}{2}~$$R_2$ = $\dfrac{1}{2}~$$R_1$ = $OO’$, tức là $R_2$ + $R_3$ = $OO’$ và ta có $(T_2)$, $(T_3)$ tiếp xúc với nhau.
– Nếu 3$R_2$ < $R_1$ thì $R_2$ + $R_3$ = $\dfrac{3}{2}~$$R_2$ < $\dfrac{1}{2}~$$R_1$ = $OO’$, tức là $R_2$ + $R_3$ < $OO’$ và ta có $(T_2)$ và $(T_3)$ ngoài nhau.
Chú ý:
– Trong thực tế, kim dài và kim ngắn thường không quá chênh lệch nên không thể xảy ra $R_2$ ≤ $\dfrac{1}{3}~$$R_1$ (hay 3$R_2$ ≤ $R_1$). Do đó thực tế chỉ xảy ra trường hợp $(T_2)$ và $(T_3)$ cắt nhau.
– Trong trường hợp $(T_1)$ là đường tròn (O; 3 cm), $(T_2)$ là đường tròn (O; 2 cm), ta có $(T_3)$ là đường tròn (O’; 1 cm). Khi đó ta có: $R_1$ = 3 cm, $R_2$ = 2 cm, $OO’$ = $\dfrac{1}{2}~$$R_1$ = 1,5 cm và $R_3$ = $\dfrac{1}{2}~$$R_2$ = 1 cm (hình vẽ). Qua hình vẽ trên, ta thấy đường tròn $(T_1)$ đựng đường tròn $(T_3)$, hai đường tròn $(T_2)$ và $(T_3)$ cắt nhau.
 |
| Hình vẽ BT 5.29 SGK Toán 9 KNTT |
a) $(T_1)$ và $(T_2)$ là hai đường tròn đồng tâm với tâm $O$ là điểm trục của hai kim. Chú ý rằng $(T_2)$ là đường tròn tạo bởi đầu kim ngắn nên $R_2$ < $R_1$. (1)
b) Gọi $O’$ là tâm và $R_3$ là bán kính của đường tròn $(T_3)$, theo đề bài ta có:
$R_3$ = $\dfrac{1}{2}~$$R_2$ và $OO’$ = $\dfrac{1}{2}~$$R_1$. (2)
• Xét hai đường tròn $(T_1)$ và $(T_3)$, tức là (O; $R_1$) và (O’; $R_3$). Từ (1) và (2) ta có:
$R_1$ – $R_3$ = $R_1$ – $\dfrac{1}{2}~$$R_2$ = $\dfrac{1}{2}~\left( {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right)+\dfrac{1}{2}~{{R}_{1}}$ > $\dfrac{1}{2}~$$R_1$, suy ra $R_1$ – $R_3$ > $OO’$.
Do đó $(T_1)$ đựng $(T_3)$.
• Xét hai đường tròn $(T_2)$ và $(T_3)$, tức là hai đường tròn (O; $R_2$) và (O’; $R_3$). Từ (2) ta có:
$R_2$ – $R_3$ = $R_2$ – $\dfrac{1}{2}~$$R_2$ = $\dfrac{1}{2}~$$R_2$ > 0. (3)
Mặt khác, $R_2$ + $R_3$ = $R_2$ + $\dfrac{1}{2}~$$R_2$ = $\dfrac{3}{2}~$$R_2$ . Do đó:
– Nếu 3$R_2$ > $R_1$ thì $R_2$ + $R_3$ = $\dfrac{3}{2}~$$R_2$ > $\dfrac{1}{2}~$$R_1$ = $OO’$, tức là $R_2$ + $R_3$ > $OO’$. Điều đó cùng với (3) cho ta thấy $(T_2)$ và $(T_3)$ cắt nhau.
– Nếu 3$R_2$ = $R_1$ thì $R_2$ + $R_3$ = $\dfrac{3}{2}~$$R_2$ = $\dfrac{1}{2}~$$R_1$ = $OO’$, tức là $R_2$ + $R_3$ = $OO’$ và ta có $(T_2)$, $(T_3)$ tiếp xúc với nhau.
– Nếu 3$R_2$ < $R_1$ thì $R_2$ + $R_3$ = $\dfrac{3}{2}~$$R_2$ < $\dfrac{1}{2}~$$R_1$ = $OO’$, tức là $R_2$ + $R_3$ < $OO’$ và ta có $(T_2)$ và $(T_3)$ ngoài nhau.
Chú ý:
– Trong thực tế, kim dài và kim ngắn thường không quá chênh lệch nên không thể xảy ra $R_2$ ≤ $\dfrac{1}{3}~$$R_1$ (hay 3$R_2$ ≤ $R_1$). Do đó thực tế chỉ xảy ra trường hợp $(T_2)$ và $(T_3)$ cắt nhau.
– Trong trường hợp $(T_1)$ là đường tròn (O; 3 cm), $(T_2)$ là đường tròn (O; 2 cm), ta có $(T_3)$ là đường tròn (O’; 1 cm). Khi đó ta có: $R_1$ = 3 cm, $R_2$ = 2 cm, $OO’$ = $\dfrac{1}{2}~$$R_1$ = 1,5 cm và $R_3$ = $\dfrac{1}{2}~$$R_2$ = 1 cm (hình vẽ). Qua hình vẽ trên, ta thấy đường tròn $(T_1)$ đựng đường tròn $(T_3)$, hai đường tròn $(T_2)$ và $(T_3)$ cắt nhau.
