Tính giới hạn hàm căn thức để xác định lợi nhuận công ty - Đề V-ACT 2026 đợt 1

Hướng dẫn giải bài toán giới hạn căn thức, xét dấu hàm số khi x tiến tới vô cực. Áp dụng liên hợp so sánh để kết luận lợi nhuận doanh nghiệp (lời/lỗ).

Xét dấu hàm lợi nhuận trong thời gian dài

Đề bài toán

[Đề đánh giá năng lực ĐHQG-HCM đợt 1 năm 2026 - VACT 05/4/2026]

Một công ty có lợi nhuận tuân theo hàm số

\[f(x) = \sqrt{x^2 - x + 5} - \sqrt{x^2 + 2x + 2}.\]

Trong đó, \(f(x)\) là lợi nhuận (đơn vị: tỷ đồng), \(x\) là thời gian (đơn vị: năm). Sau rất lâu, nhận xét đúng về lợi nhuận của công ty là:

A. Công ty lỗ.
B. Không xác định.
C. Công ty lời.
D. Công ty hòa vốn.

Lời giải chi tiết

1. Cách 1: Dùng giới hạn (phương pháp chuẩn)

Xét giới hạn khi \(x \to +\infty\):

$$ L=\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 - x + 5} - \sqrt{x^2 + 2x + 2}\right) $$

Nhân liên hợp:

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 - x + 5) - (x^2 + 2x + 2)}{\sqrt{x^2 - x + 5} + \sqrt{x^2 + 2x + 2}} $$

Rút gọn tử số:

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3x + 3}{\sqrt{x^2 - x + 5} + \sqrt{x^2 + 2x + 2}} $$

Chia cả tử và mẫu cho \(x\):

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}}} $$

Lấy giới hạn:

$$L = -\frac{3}{2} $$

Vì giới hạn âm nên lợi nhuận về lâu dài là âm, do đó công ty bị lỗ.

2. Cách 2: So sánh trực tiếp (nhanh)

Xét hiệu hai biểu thức dưới căn:

$$ (x^2 + 2x + 2) - (x^2 - x + 5) = 3x - 3 $$

Với \(x > 1\) thì \(3x - 3 > 0\) nên:

$$ \sqrt{x^2 + 2x + 2} > \sqrt{x^2 - x + 5} $$

Suy ra:

$$ f(x) < 0, \quad \forall x > 1 $$

Như vậy với \(x > 1 \), lợi nhuận luôn âm nên công ty bị lỗ.

Kết luận

A. Công ty lỗ

Nhận xét

Đề bài khá lộ, dễ dàng nhận thấy $f(x)<0$ khi $x>1$ mà không cần tính giới hạn.