Bài toán điền số vào bảng tam giác kèm lời giải (modulo 5) – Đề chính thức của Bộ GD 2026

Giải chi tiết bài toán tổ hợp khó của Bộ GD 2026 về điền số vào bảng tam giác, sử dụng phân lớp đồng dư modulo 5 để đếm số cách thích hợp.

Bài toán điền số vào bảng tam giác và điều kiện đồng dư modulo 5

Đề bài

[Câu 4 phần III mã đề 0103 - Đề tốt nghiệp THPT năm 2026 chính thức của Bộ GD-ĐT]

Trong một trò chơi bạn Bình cần vượt qua một thử thách. Theo yêu cầu của thử thách, Bình cần điền tất cả 15 số thuộc tập

\[ \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;10;11;12;15;16;20\} \]

vào 15 ô vuông của hình dưới đây, thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

• Mỗi ô điền đúng một số và mỗi số chỉ được sử dụng một lần.
• Hiệu hai số ở hai ô bất kì khác nhau trên cùng một hàng không chia hết cho \(5\).
• Hiệu hai số ở hai ô bất kì khác nhau trên cùng một cột không chia hết cho \(5\).

Hai cách điền được gọi là giống nhau nếu số điền ở mỗi ô tương ứng trong 15 ô là giống nhau (không tính đến thứ tự điền các số vào ô).

Gọi \(H\) là số cách điền khác nhau để bạn Bình vượt qua được thử thách. Tính giá trị của \( \dfrac{H}{30}. \)

Lời giải chi tiết

Bước 1. Phân loại các số theo phần dư modulo 5

Chia các số theo phần dư khi chia cho \(5\):

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Phần dư} & \text{Các số} & \text{Số lượng}\\ \hline 0 & 0,5,10,15,20 & 5\\ \hline 1 & 1,6,11,16 & 4\\ \hline 2 & 2,7,12 & 3\\ \hline 3 & 3,8 & 2\\ \hline 4 & 4 & 1\\ \hline \end{array} \]

Hai số có hiệu chia hết cho \(5\) khi và chỉ khi chúng có cùng phần dư modulo \(5\).

Do đó trên cùng một hàng hoặc cùng một cột không được xuất hiện hai số thuộc cùng một lớp đồng dư modulo \(5\).

Bước 2. Xác định vị trí của lớp đồng dư 0

Bảng có 5 hàng và 5 cột với số ô ở các hàng lần lượt là:

\[ 5,\;4,\;3,\;2,\;1. \]

Lớp đồng dư \(0\) có đúng 5 số. Vì không được trùng hàng và cũng không được trùng cột, nên 5 ô chứa lớp đồng dư \(0\) phải nằm ở 5 hàng khác nhau và 5 cột khác nhau.

Trên bảng tam giác đã cho, cách chọn như vậy là duy nhất:

\[ (H_5,C_1),\; (H_4,C_2),\; (H_3,C_3),\; (H_2,C_4),\; (H_1,C_5). \]

Bước 3. Xác định vị trí các lớp đồng dư còn lại

Sau khi bỏ các ô của lớp đồng dư \(0\), phần còn lại lại có cấu trúc tương tự.

Tương tự, các lớp đồng dư:

• Phần dư \(1\) (4 số) có vị trí duy nhất.
• Phần dư \(2\) (3 số) có vị trí duy nhất.
• Phần dư \(3\) (2 số) có vị trí duy nhất.
• Phần dư \(4\) (1 số) có vị trí duy nhất.

Vì thế sơ đồ phân bố các lớp đồng dư trên bảng là hoàn toàn xác định.

Bước 4. Đếm số cách điền các số

Sau khi cố định vị trí các lớp đồng dư, các số trong cùng một lớp có thể hoán vị tùy ý.

\[ H = 5!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2!\cdot 1!. \]

\[ H = 120\cdot 24\cdot 6\cdot 2 = 34560. \]

Do đó:

\[ \frac{H}{30} = \frac{34560}{30} = 1152. \]

Đáp số:

\[ \boxed{1152}. \]

Nhận xét

Đây là bài toán tổ hợp rất hay của đề Bộ GD 2026. Điểm mấu chốt là chuyển điều kiện "hiệu không chia hết cho 5" thành bài toán tô màu theo các lớp đồng dư modulo 5. Hình tam giác Ferrers \(5+4+3+2+1\) buộc các lớp đồng dư có kích thước \(5,4,3,2,1\) nằm trên các đường chéo song song một cách duy nhất.