Hướng dẫn cách đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số bằng tổng cấp số nhân vô hạn, có công thức tổng quát, chứng minh và ví dụ giải chi tiết.
Cách đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số bằng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Mục tiêu. Bài viết hướng dẫn phương pháp đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số bằng kiến thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn trong SGK Toán 11. Sau đó tổng quát thành cách giải nhanh, dễ nhớ và có thể áp dụng cho mọi số thập phân vô hạn tuần hoàn.
1. Ý tưởng của phương pháp (qua ví dụ cụ thể)
Xét số:
\[ 0,\overline{37}. \]Ta có thể tách nó ra thành tổng các phân số như sau:
\[ 0,\overline{37} = 0,373737... = \frac{37}{100} +\frac{37}{100^2} +\frac{37}{100^3} +\cdots \]
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với:
\[ u_1=\frac{37}{100}, \qquad q=\frac1{100}. \]Áp dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn \[S=\frac{u_1}{1-q},\quad (\text{với} \quad |q|\lt 1),\] ta được:
\[ 0,\overline{37} = \frac{\frac{37}{100}}{1-\frac1{100}} = \frac{37}{99}. \]
2. Thiết lập công thức tổng quát
Đặt $x=0,\overline{a}$, trong đó khối tuần hoàn $a$ có $n$ chữ số.
Khi đó ta khai triển cấu trúc số:
\[ x = \frac{a}{10^n} +\frac{a}{10^{2n}} +\frac{a}{10^{3n}} +\cdots \]
Đây là cấp số nhân vô hạn với số hạng đầu và công bội là:
\[ u_1=\frac{a}{10^n}, \qquad q=\frac1{10^n}. \]Áp dụng công thức tính tổng, ta rút ra công thức nền tảng:
\[ x = \frac{\frac{a}{10^n}}{1-\frac1{10^n}} = \frac{a}{10^n-1}. \]
Suy ra:
\[ \boxed{0,\overline{a} = \frac{a}{10^n-1}} \]3. Số có phần nguyên khác 0
Giả sử $x=m,\overline{a}$, trong đó $m$ là phần nguyên khác \(0\) và khối tuần hoàn $a$ có $n$ chữ số. Khi đó:
\[ \boxed{ x=m+\frac{a}{10^n-1} } \]4. Cách nhớ nhanh bằng bảng quy tắc
| Số thập phân vô hạn tuần hoàn | Phân số tương ứng |
|---|---|
| \(0,\overline{a}\) | \(\dfrac{a}{9}\) |
| \(0,\overline{ab}\) | \(\dfrac{ab}{99}\) |
| \(0,\overline{abc}\) | \(\dfrac{abc}{999}\) |
| \(0,\overline{abcd}\) | \(\dfrac{abcd}{9999}\) |
| \(0,\overline{a_1a_2\ldots a_n}\) | \(\displaystyle \frac{a_1a_2\ldots a_n}{\underbrace{99\ldots9}_{n\text{ chữ số }9}}\) |
Quy tắc ghi nhớ: Mẫu số luôn gồm toàn chữ số $9$, số lượng chữ số $9$ đúng bằng số chữ số của khối tuần hoàn.
5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Đổi số $0,\overline{72}$ thành phân số.
Lời giải:
Ví dụ 2
Đổi số $2,\overline{35}$ thành phân số.
Lời giải:
Ví dụ 3
Đổi số $8,\overline{07}$ thành phân số.
Lời giải:
6. Bài tập tự luyện
Bài 1. Đổi số \(3,\overline{125}\) thành phân số tối giản.
Bài 2. Đổi số \(5,\overline{204}\) thành phân số tối giản.
Bài 3. Đổi số \(0,\overline{408}\) thành phân số tối giản.
Bài 4. Chứng minh rằng: \( 0,\overline{142857}=\dfrac17. \)
