SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2025 – 2026 Môn thi: TOÁN 12 ...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2025 – 2026
Môn thi: TOÁN 12
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) — Mã đề 1001
Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Máng xối nước mưa của một mái nhà được làm bằng tấm tôn hình chữ nhật có chiều rộng \( 60\text{ cm} \). Hai mép của miếng tôn được gấp lên một góc \( \alpha \) (\( 0^\circ < \alpha \le 90^\circ \)) để tạo ra máng xối có mặt cắt gồm ba đoạn thẳng dài \( 20\text{ cm} \) như hình minh họa. Diện tích mặt cắt nói trên lớn nhất khi góc \( \alpha \) bằng bao nhiêu độ?
A. \( 90^\circ \).
B. \( 45^\circ \).
C. \( 30^\circ \).
D. \( 60^\circ \).
Câu 2: Nghiệm của phương trình \( \cos x = 1 \) là
A. \( \pi + k2\pi \; (k \in \mathbb{Z}) \).
B. \( k\pi \; (k \in \mathbb{Z}) \).
C. \( k2\pi \; (k \in \mathbb{Z}) \).
D. \( \frac{\pi}{2} + k2\pi \; (k \in \mathbb{Z}) \).
Câu 3: Xét một chất điểm chuyển động trên trục số nằm ngang (đơn vị mét), chiều dương từ trái sang phải. Giả sử tọa độ của chất điểm trên trục số tại một thời điểm \( t \) giây (\( t \ge 0 \)) được mô hình hóa bởi một hàm số đa thức \( f(t) \), biết giá trị nhỏ nhất của \( f(t) \) trên nửa khoảng \( [4; 2026) \) bằng \( 12 \). Vận tốc của chất điểm được cho bởi đồ thị hàm số \( v = v(t) \). Số mét chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ 8 giây đến 12 giây thuộc khoảng nào sau đây?
A. \( (770; 800) \).
B. \( (720; 750) \).
C. \( (750; 770) \).
D. \( (700; 720) \).
Câu 4: Cho hàm số \( f(x) = \ln(x^2 + x) \), với \( x \) là số thực dương. Xét biểu thức \( S \) được cho bởi tổng sau:
\[ S = e^{2f'(1)} + e^{6f'(2)} + e^{12f'(3)} + \dots + e^{(2026^2 + 2026)f'(2026)} \]Biết rằng giá trị của \( S \) được rút gọn về dạng \( S = \frac{e^a - e^b}{e^c - 1} \) trong đó \( a, b, c \) là các số nguyên dương và \( b < 5 \). Gọi \( d \) là số lượng các số hạng xuất hiện trong tổng \( S \) đã cho. Tính giá trị của biểu thức \( M = a - 200b + 100c - 2d \).
A. \( -400 \).
B. \( -398 \).
C. \( -397 \).
D. \( -395 \).
Câu 5: Người ta dự định làm chân đế của một cây cột cờ có dạng hình chóp cụt đều như hình minh họa. Biết đáy lớn có cạnh dài \( 2\text{ m} \), đáy bé có cạnh dài \( 1{,}2\text{ m} \), góc giữa mặt bên và đáy lớn có số đo bằng \( 60^\circ \). Thể tích của chân đế nói trên bằng bao nhiêu mét khối? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
A. \( 1{,}81 \).
B. \( 1{,}26 \).
C. \( 1{,}05 \).
D. \( 2{,}59 \).
Câu 6: Cho cấp số cộng có số hạng đầu là \( 24 \), công sai bằng \( 3 \). Số hạng thứ 5 của cấp số cộng bằng
A. \( 12 \).
B. \( 28 \).
C. \( 36 \).
D. \( 39 \).
Câu 7: Nghiệm của phương trình \( 2^{2x} = 16 \) là
A. \( 4 \).
B. \( 3 \).
C. \( 7 \).
D. \( 2 \).
Câu 8: Một căn phòng dạy trẻ mầm non có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài \( 12\text{ m} \), chiều rộng \( 8\text{ m} \) và chiều cao \( 3{,}6\text{ m} \). Một camera được treo tại vị trí chính giữa trần của căn phòng, gắn hệ trục tọa độ \( Oxyz \) như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết rằng thanh treo của camera có độ dài \( 0{,}6\text{ m} \). Giả sử tọa độ của đầu camera là \( I(x; y; z) \). Khi đó giá trị của biểu thức \( x + 2y + 3z \) bằng
A. \( 26{,}8 \).
B. \( 25 \).
C. \( 28{,}6 \).
D. \( 13 \).
Câu 9: Cho phương trình \( \log_m x \cdot \log_n x - 2\log_m x - 40 = 0 \) (ẩn \( x \)), trong đó \( m, n \) là hai số thực thay đổi thỏa mãn \( m, n > 1 \) và \( m + n = 72 \). Gọi \( P \) là tích hai nghiệm của phương trình đã cho, giá trị lớn nhất của biểu thức \( 4m + 20n - P - 52 \) bằng
A. \( 312 \).
B. \( 300 \).
C. \( 316 \).
D. \( 236 \).
Câu 10: Khi sử dụng phần mềm mô phỏng để thiết kế một mảnh ghép trong bảng hiệu quảng cáo, người ta tạo ra phần hình phẳng có dạng phần tô đậm như hình vẽ. Diện tích \( S \) của hình phẳng đó là
A. \( \int_{0}^{c} [f(x) - g(x)] \, dx \).
B. \( \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx \).
C. \( \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx \).
D. \( \int_{0}^{c} [g(x) - f(x)] \, dx \).
Câu 11: Trong không gian \( Oxyz \), mặt phẳng có phương trình nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng \( (\alpha): 3x - y + 2z - 5 = 0 \)?
A. \( 6x - 2y + 4z = 0 \).
B. \( 2x + y - 3z = 0 \).
C. \( x - y + z + 4 = 0 \).
D. \( x + y - z + 4 = 0 \).
Câu 12: Cho khối chóp \( S.ABC \) có \( SA \) vuông góc với đáy, tam giác \( ABC \) vuông tại \( B \), \( SA = AB = a \), \( BC = a\sqrt{3} \). Tính khoảng cách từ \( A \) đến mặt phẳng \( (SBC) \).
A. \( \frac{a}{2} \).
B. \( \frac{a\sqrt{2}}{2} \).
C. \( \frac{2a\sqrt{5}}{5} \).
D. \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Qua thăm dò dư luận trong một đợt công chiếu bộ phim mới, người ta thấy rằng với giá mỗi vé là \( 120 \) nghìn đồng thì có \( 320 \) vé được bán ra và nếu giá vé giảm thêm \( 10 \) nghìn đồng thì sẽ có thêm \( 50 \) vé được bán ra. Biết sức chứa của rạp là \( 1000 \) khán giả.
a) Nếu gọi \( x \) (nghìn đồng) là giá của mỗi vé và \( p \) là số khán giả mua vé thì hàm giá (hàm cầu) \( p(x) \) là hàm số bậc nhất của \( x \) có đạo hàm luôn âm trên tập xác định.
b) Biết chi phí cố định mỗi ngày là \( 5 \) triệu đồng, chi phí khác là \( 20 \) nghìn đồng đối với mỗi vé được bán. Khi đó hàm chi phí là \( C(x) = 5 + 20x \) (nghìn đồng).
c) Hàm lợi nhuận là \( P(x) = -5x^2 + 900x - 5000 \) (nghìn đồng).
d) Lợi nhuận lớn nhất thu được khi giá vé là \( 100 \) nghìn đồng và có \( 450 \) vé được bán ra.
