Tóm tắt nội dung: Tài liệu bao gồm đáp án chính thức và lời giải chi tiết cho các câu hỏi trắc nghiệm thuộc phần mở đầu Kỳ thi chọn...
PHẦN I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 1: Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Hình dưới là đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\). Hỏi hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \((1;3)\)
B. \((-\infty;2)\)
C. \((0;1)\) và \((2;+\infty)\)
D. \((0;+\infty)\)
Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'(x)\), ta thấy \(f'(x) \le 0, \forall x \le 2\) và \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \end{array}\right.\).
Vậy hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-\infty;2)\).
Chọn B.
Câu 2: Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2+x+9}{x+1}\) bằng:
A. \(2\sqrt{2}\)
B. \(6\sqrt{5}\)
C. \(4\sqrt{5}\)
D. \(3\sqrt{2}\)
Lời giải:
Ta có: \(y = x + \frac{9}{x+1} \Rightarrow y' = 1 - \frac{9}{(x+1)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2 \Rightarrow y = 5 \\ x = -4 \Rightarrow y = -7 \end{array}\right.\)
Khi đó đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là \(A(2;5)\) và \(B(-4;-7)\).
Suy ra: \(AB = \sqrt{(-4-2)^2 + (-7-5)^2} = 6\sqrt{5}\).
Chọn B.
Câu 3: Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Đặt \(\vec{AA'} = \vec{a}\), \(\vec{AB} = \vec{b}\), \(\vec{AC} = \vec{c}\). Gọi \(I\) là điểm thuộc đoạn \(CC'\) thỏa mãn \(IC = 3IC'\), \(G\) là trọng tâm tứ diện \(BA'B'C'\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(\vec{IG} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{3}{4}\vec{c}\)
B. \(\vec{IG} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c})\)
C. \(\vec{IG} = -\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{c}\)
D. \(\vec{IG} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}\)
Lời giải:
Ta có: \(\vec{GB} + \vec{GA'} + \vec{GB'} + \vec{GC'} = \vec{0}\)
\[\Leftrightarrow 4\vec{IG} = \vec{IB} + \vec{IA'} + \vec{IB'} + \vec{IC'}\]
\[\Leftrightarrow 4\vec{IG} = (\vec{IC} + \vec{CB}) + (\vec{IC'} + \vec{C'A'}) + (\vec{IC'} + \vec{C'B'}) + \vec{IC'}\]
\[\Leftrightarrow 4\vec{IG} = (\vec{IC} + 3\vec{IC'}) + 2\vec{CB} + \vec{C'A'} \Leftrightarrow 4\vec{IG} = 2(\vec{AB} - \vec{AC}) - \vec{AC}\]
\[\Leftrightarrow \vec{IG} = \frac{1}{4}(2\vec{b} - 3\vec{c}) \Leftrightarrow \vec{IG} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{3}{4}\vec{c}\]
Chọn A.
Câu 4: Trong không gian, cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) tạo với nhau góc \(120^\circ\) và \(|\vec{a}| = 3\), \(|\vec{b}| = 5\). Tính độ dài của vectơ \(\vec{a} - \vec{b}\).
A. \(\sqrt{19}\)
B. \(49\)
C. \(19\)
D. \(7\)
Lời giải:
Ta có: \[|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ + 5^2 = 49\]
Nên \(|\vec{a} - \vec{b}| = 7\).
Chọn D.
Câu 5: Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A(1;-2;3)\), \(B(0;2;-1)\), \(C(-2;0;1)\). Xác định tọa độ của vectơ \(\vec{u} = 2\vec{AB} - \vec{AC}\).
A. \(\vec{u} = (7;2;-2)\)
B. \(\vec{u} = (1;6;-6)\)
C. \(\vec{u} = (1;6;-2)\)
D. \(\vec{u} = (4;14;-14)\)
Lời giải:
Ta có:
+) \(\vec{AB} = (-1; 4; -4) \Rightarrow 2\vec{AB} = (-2; 8; -8)\);
+) \(\vec{AC} = (-3; 2; -2) \Rightarrow -\vec{AC} = (3; -2; 2)\).
Suy ra \(\vec{u} = 2\vec{AB} - \vec{AC} = (1; 6; -6)\).
Chọn B.
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có các đỉnh \(A'(-1;2;3)\), \(C'(1;4;5)\), \(B(-3;3;-2)\), \(D(5;3;2)\). Tìm tọa độ đỉnh \(D'\).
A. \(D'(0;2;-1)\)
B. \(D'(-4;3;2)\)
C. \(D'(2;4;1)\)
D. \(D'(4;3;6)\)
Lời giải:
Gọi \(I, I'\) lần lượt là tâm của các hình bình hành \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\).
Khi đó: \(I\) là trung điểm của \(BD \Rightarrow I(1;3;0)\).
Và \(I'\) là trung điểm của \(A'C' \Rightarrow I'(0;3;4) \Rightarrow \vec{II'} = (-1;0;4)\).
Gọi \(D'(x;y;z) \Rightarrow \vec{DD'} = (x-5; y-3; z-2)\).
Do \(D'I'ID\) là hình bình hành \(\Rightarrow \vec{DD'} = \vec{II'} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x - 5 = -1 \\ y - 3 = 0 \\ z - 2 = 4 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 3 \\ z = 6 \end{array}\right.\)
Vậy \(D'(4;3;6)\).
Chọn D.
