Tóm tắt nội dung đề thi: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh THCS môn Toán năm học 2025 - 2026 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh An Gi...
Tóm tắt nội dung đề thi: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh THCS môn Toán năm học 2025 - 2026 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh An Giang có thời gian làm bài 150 phút, gồm 09 câu hỏi tự luận với tổng điểm 20. Nội dung đề bao phủ toàn bộ chương trình Toán THCS nâng cao, bao gồm: biến đổi biểu thức đại số, giải hệ phương trình và phương trình cực trị, số học (số chính phương), bài toán hàm số bậc hai và đường thẳng, hình học phẳng (tam giác nội tiếp, hình vuông, góc), hình học không gian thực tế (tính thể tích và diện tích bạt dựng trại), cùng bài toán xác suất - thống kê (lập bảng tần số, tính xác suất biến cố).
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2025 – 2026
Môn: TOÁN | Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (3,0 điểm)
Cho biểu thức:
\[A = \left( \frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1} - \frac{\sqrt{x}-2}{x-1} \right) \cdot \frac{(x-1)^2}{2} \quad \text{với } x \ge 0; \, x \neq 1.\]
a) Rút gọn biểu thức \(A\).
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\).
c) Tính giá trị của biểu thức \(A\) với \(x = 11 + 6\sqrt{2}\).
d) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(B = A \cdot \frac{1}{\sqrt{x}+2}\) nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
\[\begin{cases} x^2 - 3y = 2 \\ 9y^2 - 8x = 8 \end{cases}\]
b) Giải phương trình: \((x-3)\sqrt{x^2+1} = x^2 - 5x + 6\).
c) Cho phương trình bậc hai \(x^2 - 3x + m = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1; x_2\) và biểu thức \(T = (x_2^2 + 3x_1)^2 + 20m\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3. (1,0 điểm)
Tìm số tự nhiên \(n\) sao cho \(n^2 + 4n + 21\) là số chính phương.
Câu 4. (2,0 điểm)
Cho hàm số \(y = ax^2\) (\(a \neq 0\)) có đồ thị \((P)\) đi qua điểm \(A(-\sqrt{2}; 4)\). Trên \((P)\) lấy hai điểm \(B\) và \(C\) có hoành độ lần lượt tương ứng là \(1\) và \(2\). Xác định \(m\) để đường thẳng \(y = (2m-3)x + 2\) song song với đường thẳng \(BC\).
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho tam giác \(MNP\) đều nội tiếp đường tròn tâm \(O\) có bán kính bằng \(4\text{ cm}\). Điểm \(I\) nằm trên cung nhỏ \(NP\). Xác định vị trí điểm \(I\) để biểu thức \(T = IM + IN + IP\) đạt giá trị lớn nhất và tính \(T\).
Câu 6. (2,0 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) (\(BA < BC\)), trên nửa mặt phẳng bờ \(AC\) không chứa điểm \(B\), dựng hình vuông \(ACIF\) có tâm là \(H\). Chứng minh rằng \(BH\) là đường phân giác trong của góc \(ABC\).
Câu 7. (2,0 điểm)
Một khung trại có dạng như hình vẽ trong đề thi. Biết phần thân khung trại dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.EFGH\) có \(EF = 8\text{ (m)}\); \(FG = 6\text{ (m)}\); \(CG = 4\text{ (m)}\). Phần nóc khung trại hình lăng trụ đứng tam giác \(ABK.DCM\) có \(KI = 3\text{ (m)}\).
a) Tính thể tích phần không gian bên trong của khung trại.
b) Biết mỗi mét vuông vải bạt có giá là \(15\,000\) đồng. Hãy tính chi phí để mua vải bạt phủ bên ngoài khung trại (không phủ mặt đáy của phần thân khung trại và không tính các mép dán).
Câu 8. (2,0 điểm)
Một chiếc hộp có chứa 5 tấm thẻ cùng loại, được đánh số lần lượt là 3; 5; 6; 7; 9. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 tấm thẻ từ hộp.
a) Xác định không gian mẫu và số kết quả có thể xảy ra.
b) Tính xác suất của các biến cố sau:
A: "Tích các số ghi trên 2 tấm thẻ chia hết cho 3".
B: "Tổng các số ghi trên 2 tấm thẻ lớn hơn 13".
Câu 9. (2,0 điểm)
Một cửa hàng ghi lại cỡ các đôi giày đã bán trong một ngày ở bảng sau:
| 42 | 38 | 39 | 42 | 39 | 41 | 38 | 41 | 41 | 40 |
| 37 | 38 | 37 | 38 | 40 | 39 | 38 | 39 | 44 | 43 |
| 42 | 37 | 40 | 40 | 44 | 41 | 41 | 40 | 42 | 39 |
| 43 | 41 | 37 | 41 | 40 | 38 | 40 | 41 | 40 | 39 |
a) Hãy lập bảng tần số và tần số tương đối cho mẫu số liệu trên.
b) Hãy vẽ biểu đồ tần số tương đối dạng cột mô tả bảng số liệu trên.
