Tóm tắt nội dung đề thi: Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh môn Toán lớp 9 tỉnh Ninh Bình (năm học 2025 - 2026) có thời gian làm bài 15...
Câu 1 (4,0 điểm)
1. Cho biểu thức \(P = \left( \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2} - \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3} + \frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6} \right) : \frac{1}{\sqrt{x}+1}\) (với \(x \ge 0, x \ne 4, x \ne 9\)).
a) Chứng minh rằng \(P = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\).
b) Tìm giá trị của \(x\) để \(P = \frac{3}{2}\).
2. Xét đa thức bậc bốn \(P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d\) (với \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\)) thoả mãn \(P(-1) = -1, P(1) = -1\) và \(P(3) = 7\).
a) Chứng minh rằng \(a+c = 0\).
b) Tính giá trị của biểu thức \(T = P(4) + 5P(2)\).
Câu 2 (4,0 điểm)
1. Giải phương trình \(\sqrt{2x-7} + \sqrt{9-2x} = 2\).
2. Đoạn đường \(AB\) dài \(36\text{ km}\), bác Ninh đi xe máy từ \(A\) tới \(B\) và bác Bình đi xe đạp từ \(B\) tới \(A\) cùng khởi hành lúc \(8\) giờ sáng. Sau một thời gian hai bác gặp nhau tại điểm \(C\), đoạn đường \(AC\) dài \(24\text{ km}\). Khi gặp nhau, ngay lập tức, bác Bình quay lại đi về phía \(B\). Khi đi tới \(B\), bác Ninh liền quay lại hướng về \(A\) và gặp bác Bình tại điểm \(D\) vào lúc \(9\) giờ sáng cùng ngày. Coi vận tốc hai xe không đổi, tính vận tốc của xe máy.
Câu 3 (3,0 điểm)
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn \(x(x^2-3x+3) = y^3+2\).
2. Chứng minh với mọi số nguyên tố \(p > 5\), ta có \(3^{p^2} - 5^p + 2\) chia hết cho \(30p\).
Câu 4 (7,0 điểm)
1. Cho tam giác nhọn \(ABC\) (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn \((O)\), ngoại tiếp đường tròn \((I)\). Đường phân giác của \(\widehat{BAC}\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai là \(M\).
a) Chứng minh rằng \(MB = MC = MI\).
b) Đường tròn \((I)\) tiếp xúc với \(BC\) tại \(D\). Gọi \(E\) là giao điểm thứ hai của đường thẳng \(MD\) với đường tròn \((O)\); \(F\) là giao điểm của \(AE\) với \(BC\); \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\). Chứng minh rằng \(\widehat{MID} = \widehat{MEI}\) và bốn điểm \(A, I, H, F\) cùng nằm trên một đường tròn.
c) Gọi \(N\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(O\), \(P\) là hình chiếu của \(N\) trên \(AC\). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APB\) đi qua trung điểm của \(AM\).
2. Gia đình ông Minh muốn thiết kế tiểu cảnh cho khu vườn hình vuông \(ABCD\) cạnh \(10\text{ mét}\) theo cách sau: xác định trung điểm \(M, N\) của các cạnh \(AB, CD\), vẽ đường tròn đường kính \(MN\) và hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn đường kính \(MN\) tại \(M, N\) (như hình vẽ). Tại bốn góc khu vườn ông Minh lát gạch, phần không tô màu trồng cỏ và phần còn lại ông trồng hoa. Lấy \(\pi = 3{,}14\).
a) Tính diện tích (mét vuông) phần lát gạch.
b) Biết mỗi mét vuông trồng cỏ chi phí hết 120 nghìn đồng, mỗi mét vuông trồng hoa chi phí hết 280 nghìn đồng. Tính tổng chi phí (nghìn đồng) của khu vườn trồng hoa và cỏ trong trường hợp diện tích trồng cỏ lớn nhất.
Câu 5 (2,0 điểm)
1. Xét các số thực dương \(a,b,c\) thay đổi và thỏa mãn \(bc + 2ca + 3ab \le abc\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\[ P = \frac{\sqrt{b^2+6ab+4a^2}}{ab} + \frac{\sqrt{4c^2+18bc+9b^2}}{bc} + \frac{\sqrt{9a^2+9ca+c^2}}{ca} \]
2. Một tập được gọi là “đẹp” nếu nó gồm các số nguyên dương phân biệt, không có số nào chia hết cho 2026 và không tồn tại bất kỳ hai phần tử phân biệt \(a, b\) thuộc tập đó thỏa mãn \(a^2 - b^2\) chia hết cho 2026.
a) Chứng minh rằng tập \(\{1; 2; 3; \dots; 1013\}\) là “đẹp”.
b) Xét tất cả các tập “đẹp”, tìm số phần tử lớn nhất có thể của tập “đẹp”.
