Tài liệu trình bày đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 tại TP.HCM năm học 2025-2026. Nội dung bao gồm các dạng toán đại số về biến đổi ...
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 (TP.HCM 25-26)
Câu 1:
1. Cho \(a, b > 0\) thỏa mãn \((1 + a)(1 + b) = 2026\). Tính giá trị của biểu thức:
\[M = \frac{\sqrt{(2025 + a^2)(2025 + b^2)}}{a + b}\]
2. Một mảnh đất có diện tích thay đổi theo thời gian. Biết rằng mỗi tháng, diện tích mảnh đất giảm đi 10% và mất thêm \(3\text{ m}^2\). Tính diện tích mảnh đất ban đầu, biết rằng sau 2 tháng, diện tích mảnh đất còn lại là \(51\text{ m}^2\).
Câu 2:
1. Cho phương trình \(x^2 - 3x - 1 = 0\). Biết \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức: \(A = x_1^2 - 2x_2^2 - 7x_1 x_2 + x_1 + 10x_2\)
2. Ba bạn Ngọc, An, Thái đi mua kẹo gồm ba loại A, B, C. Biết rằng:
- Ngọc mua 3 viên loại A, 9 viên loại B, 6 viên loại C và phải trả 48.000 đồng.
- An mua 4 viên loại A, 4 viên loại B, 16 viên loại C và phải trả 72.000 đồng.
a) Nếu Thái mua 4 viên loại A, 17 viên loại B và 3 viên loại C thì Thái cần trả bao nhiêu tiền?
b) Giả sử một người mua tổng cộng 96 viên kẹo gồm cả ba loại A, B, C với tổng số tiền là 248.000 đồng. Biết rằng: Số kẹo loại A tối đa là 15 viên; Số kẹo loại C ít nhất bằng \(\frac{1}{8}\) bình phương số kẹo loại A. Hỏi đơn giá lớn nhất có thể có của mỗi viên kẹo loại B là bao nhiêu?
Câu 3:
1. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ngoại tiếp đường tròn nội tiếp \((I; r)\). Biết \(AB = 4\), \(AC = 3\). Gọi \(E, F, G\) lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn \((I)\) với các cạnh \(AC, AB, BC\). Lấy điểm \(D\) trên đoạn \(BC\) sao cho \(AE = CD\). Đường thẳng \(DI\) cắt \(AB\) tại \(M\). Đường trung trực của đoạn \(CD\) cắt \(AC\) tại \(N\) và cắt \(BD\) tại \(K\). Kẻ đường thẳng qua \(N\) vuông góc với \(DM\) tại \(H\). Tính bán kính \(r\), độ dài đoạn \(AM\) và số đo góc \(\widehat{CHK}\).
2. Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) có các đường cao \(AD, BE, CF\) cắt nhau tại trực tâm \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Kẻ \(HJ\) vuông góc với \(AM\) tại \(J\).
a) Chứng minh tứ giác \(BHJC\) nội tiếp.
b) Kẻ \(HG\) vuông góc với \(EF\) tại \(G\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(EF\). Chứng minh \(AI \parallel DG\).
Câu 4:
Cho \(p\) là số nguyên tố thỏa mãn phương trình: \(x^3 + y^3 - 3xy = p - 1\) có nghiệm nguyên dương \((x, y)\). Tìm số nguyên tố \(p\) lớn nhất thỏa mãn điều kiện trên.
Câu 5:
1. Có \(n\) đội bóng tham gia một giải đấu vòng tròn một lượt (mỗi đội đấu với một đội khác đúng một lần). Quy tắc tính điểm như sau: Thắng được 2 điểm, Hòa được 1 điểm, Thua được 0 điểm. Kết thúc giải đấu, người ta nhận thấy có \(n - 5\) đội có số điểm bằng nhau, và 5 đội còn lại có tổng số điểm là 27. Tìm \(n\).
2. Cho tập hợp \(S = \{x \in \mathbb{N}^* \mid 1 \le x \le 18\}\). Ba bạn chọn ngẫu nhiên 3 số \(a, b, c\) từ tập \(S\) (có thể chọn lặp lại) để lập thành phương trình: \(ax^2 + x(b + ac) + bc = 0\). Tính xác suất để phương trình trên có một nghiệm là \(-3\).
HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ CÂU
Câu 1:
1. Ta có \((1 + a)(1 + b) = 2026 \Rightarrow a + b + ab = 2025.\)
- \[2025 + a^2 = (a + b + ab) + a^2 = a(a + 1) + b(a + 1) = (a + 1)(a + b)\]
- \[2025 + b^2 = (a + b + ab) + b^2 = a(b + 1) + b(b + 1) = (b + 1)(a + b)\]
Suy ra: \((2025 + a^2)(2025 + b^2) = (a + 1)(b + 1)(a + b)^2 = 2026(a + b)^2\).
Vì \(a, b > 0 \Rightarrow a + b > 0\), do đó:
\[M = \frac{\sqrt{2026(a + b)^2}}{a + b} = \frac{(a + b)\sqrt{2026}}{a + b} = \sqrt{2026}\]
2. Gọi diện tích mảnh đất ban đầu là \(x\text{ (m}^2\), điều kiện \(x > 0\)).
Khi diện tích giảm 10%, phần diện tích còn lại bằng 90% diện tích trước đó.
- Sau tháng thứ nhất, diện tích mảnh đất còn lại là: \(0,9x - 3\text{ (m}^2\).
- Sau tháng thứ hai, diện tích mảnh đất còn lại là: \(0,9(0,9x - 3) - 3\text{ (m}^2\).
Theo giả thiết sau 2 tháng diện tích còn lại là \(51\text{ m}^2\), ta có phương trình:
\[0,9(0,9x - 3) - 3 = 51 \Rightarrow 0,9(0,9x - 3) = 54 \Rightarrow 0,9x - 3 = 60 \Rightarrow x = 70\]
Vậy diện tích mảnh đất ban đầu là \(70\text{ m}^2\).
Câu 2:
1. Vì phương trình \(x^2 - 3x - 1 = 0\) có hai nghiệm \(x_1, x_2\), theo định lý Vi-ét ta có:
\[x_1 + x_2 = 3 \quad \text{và} \quad x_1 x_2 = -1\]
Do \(x_1, x_2\) là nghiệm của phương trình nên:
\[x_1^2 - 3x_1 - 1 = 0 \Rightarrow x_1^2 = 3x_1 + 1\]
\[x_2^2 - 3x_2 - 1 = 0 \Rightarrow x_2^2 = 3x_2 + 1\]
Biến đổi biểu thức \(A\):
\[A = (3x_1 + 1) - 2(3x_2 + 1) - 7x_1 x_2 + x_1 + 10x_2\]
\[A = 3x_1 + 1 - 6x_2 - 2 - 7(-1) + x_1 + 10x_2 = 4x_1 + 4x_2 + 6 = 4(x_1 + x_2) + 6\]
