Tài liệu cung cấp đáp án chi tiết và thang điểm chấm thi môn Toán (dành cho thí sinh chuyên Toán) trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 trường...
I. HƯỚNG DẪN CHUNG
- Giám khảo chấm đúng theo hướng dẫn của Sở Giáo dục và Đào tạo.
- Nếu thí sinh có cách trả lời khác đáp án nhưng đúng thì giám khảo vẫn chấm điểm theo biểu điểm của Hướng dẫn chấm thi.
- Giám khảo không quy tròn điểm thành phần của từng câu, điểm của bài thi.
II. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHI TIẾT
\[A = \frac{1}{xy+z-8} + \frac{1}{yz+x-8} + \frac{1}{zx+y-8}\]
Biến đổi các mẫu thức:
\[xy+z-8 = (x-1)(y-1), \quad yz+x-8 = (y-1)(z-1), \quad xz+y-8 = (x-1)(z-1)\]
Thay vào biểu thức \(A\), ta được:
\[A = \frac{1}{(x-1)(y-1)} + \frac{1}{(y-1)(z-1)} + \frac{1}{(x-1)(z-1)} = \frac{(x+y+z)-3}{(x-1)(y-1)(z-1)} = \frac{9-3}{6} = 1\]
Điểm thành phần: Biến đổi mẫu thức (0,5đ); Tính kết quả A = 1 (0,5đ).
Số phần tử của không gian mẫu: \(n(\Omega) = C_{21}^2 = 210\).
Gọi \(A\) là biến cố: "Lấy được 2 viên bi có màu khác nhau và các số ghi trên đó khác nhau".
TH1: 2 viên bi có hai màu trắng và xanh. Chọn viên bi màu trắng có 6 cách chọn. Chọn viên bi màu xanh có số khác với số ở viên bi đã chọn có 6 cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là 36.
TH2: 2 viên bi có màu trắng và đỏ, số cách chọn là 42.
TH3: 2 viên bi có màu xanh và đỏ, số cách chọn là 49.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(n(A) = 36 + 42 + 49 = 127\).
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(P(A) = \frac{127}{210}\).
Điểm thành phần: Không gian mẫu (0,5đ); TH1 (0,25đ); TH2, TH3 và xác suất (0,25đ).
\[x^2 + (x+2)\sqrt{2x-1} - 8x - 6 = 0\]
Điều kiện: \(x \ge \frac{1}{2}\).
Biến đổi phương trình thành:
\[(x-5)\left(\frac{2(x+2)}{\sqrt{2x-1}+3} + x\right) = 0\]
Vì \(x \ge \frac{1}{2}\) nên \(\frac{2(x+2)}{\sqrt{2x-1}+3} + x > 0\). Do đó phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 5\).
Điểm thành phần: ĐK và biến đổi PT (0,5đ); Lập luận nghiệm duy nhất (0,5đ).
\[\begin{cases} y^3 - 2(x+2)y^2 + x^2y = 2x^3 + 4x^2 \\ y^2 + (2x+4)\sqrt{12-2y} + x^2 + 5x + 10 = 0 \end{cases}\]
Điều kiện: \(y \le 6\).
Biến đổi phương trình \(y^3 - 2(x+2)y^2 + yx^2 = 2x^3 + 4x^2\) thành \((y - 2x - 4)(x^2 + y^2) = 0\).
+) Xét trường hợp \(x = y = 0\) không là nghiệm của hệ phương trình.
+) Trường hợp \(y = 2x + 4\) thay vào phương trình còn lại ta được:
\[(2x+4)^2 + (2x+4)\sqrt{4-4x} + x^2 + 5x + 10 = 0 \iff (2x+4+\sqrt{1-x})^2 + (x+3)^2 = 0 \quad (1)\]
Ta có \((2x+4+\sqrt{1-x})^2 \ge 0\), \((x+3)^2 \ge 0\) nên dấu bằng xảy ra khi \(\begin{cases} x+3 = 0 \\ \sqrt{1-x} = -2x-4 \end{cases}\)
Giải ra ta được \(x = -3; y = -2\). Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x, y) = (-3, -2)\).
Điểm thành phần: Phân tích PT(1) (0,5đ); Biến đổi PT(2) (0,25đ); Tìm nghiệm (0,25đ).
Biến đổi được \((m+n)(2m-n+1) = n^2\).
Đặt \(d = \gcd(m+n, 2m-n+1)\) thì \(d \mid (m+n)\); \(d \mid (2m-n+1)\) nên \(d^2 \mid (m+n)(2m-n+1) \Rightarrow d \mid n\). Suy ra \(d = 1\) và dẫn tới \(m+n, 2m-n+1\) nguyên tố cùng nhau.
\((m+n)(2m-n+1) = n^2\) là số chính phương nên từ điều trên, có được \(m+n\) là số chính phương.
Điểm thành phần: Đưa về dạng tích (0,5đ); Chứng minh gcd = 1 (0,25đ); Kết luận m+n là số chính phương (0,25đ).
