Tóm Tắt Phương Pháp Giải & Kiên Thức Cốt Lõi Để giải dạng bài trắc nghiệm Đúng / Sai về Giá trị lớn nhất (GTLN) và Giá trị nhỏ nhất (G...
Tóm Tắt Phương Pháp Giải & Kiên Thức Cốt Lõi
Để giải dạng bài trắc nghiệm Đúng / Sai về Giá trị lớn nhất (GTLN) và Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \(y = f(x)\), học sinh cần lưu ý:
- Trên đoạn \([a; b]\): Hàm số liên tục trên \([a; b]\) luôn tồn tại GTLN và GTNN. Ta tính đạo hàm \(f'(x)\), tìm các nghiệm \(x_i \in (a; b)\), sau đó so sánh các giá trị \(f(a), f(b), f(x_i)\).
- Trên khoảng \((a; b)\) hoặc \(\mathbb{R}\): Cần lập bảng biến thiên để quan sát các giới hạn tại vô cực và các điểm cực trị.
- Điểm không xác định: Nếu đạo hàm không xác định tại \(x_0\) nhưng hàm số vẫn liên tục tại \(x_0\), điểm đó vẫn có thể là điểm cực trị của hàm số.
Các Câu Hỏi Trắc Nghiệm Đúng / Sai Tiêu Biểu
Câu 1: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y'\) | + | || | - | 0 | + | ||
| \(y\) | \(-\infty\) | \(\rightarrow\) | \(0\) | \(\rightarrow\) | \(-1\) | \(\rightarrow\) | \(+\infty\) |
Khi đó:
a) Hàm số có giá trị cực tiểu bằng \(-1\).
b) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng \(0\) và giá trị nhỏ nhất bằng \(-1\).
c) Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
d) Hàm số có đúng một điểm cực trị.
Lời giải:
| a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
|---|
- a) Sai: Giá trị cực tiểu của hàm số là \(y_{CT} = -1\) tại \(x = 1\). Phát biểu chưa đầy đủ ngữ cảnh.
- b) Sai: Vì \(\lim_{x \to +\infty} y = +\infty\) và \(\lim_{x \to -\infty} y = -\infty\) nên hàm số không có GTLN và GTNN trên \(\mathbb{R}\).
- c) Đúng: Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) (đạo hàm đổi dấu từ \(+\) sang \(-\) qua \(x = 0\) và hàm liên tục tại \(x=0\)) và đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
- d) Sai: Hàm số có 2 điểm cực trị bao gồm \(x = 0\) và \(x = 1\).
Câu 2: Cho hàm số \(y = f(x) = -x^4 + 12x^2 + 1\). Xét tính đúng/sai của các phát biểu sau:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; \sqrt{6})\).
b) Hàm số có 3 điểm cực trị.
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn \([-1; 2]\) bằng \(1\).
d) Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn \([-1; 2]\) bằng \(33\).
Lời giải:
| a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
|---|
Ta có: \(y' = -4x^3 + 24x = -4x(x^2 - 6)\). Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \pm\sqrt{6}\).
- a) Sai: Trong khoảng \((0; \sqrt{6})\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến trên \((0; \sqrt{6})\). (Đề cho nghịch biến nên chọn Sai).
- b) Đúng: Đạo hàm \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu qua các nghiệm đó nên hàm số có 3 điểm cực trị.
- c) Sai & d) Đúng: Xét trên đoạn \([-1; 2]\), các điểm cần kiểm tra là \(x = -1, x = 0, x = 2\):
\(f(-1) = 12\), \(f(0) = 1\), \(f(2) = 33\).
Do đó, \(\max_{[-1; 2]} f(x) = 33\) tại \(x = 2\) và \(\min_{[-1; 2]} f(x) = 1\) tại \(x = 0\).
Câu 3: Cho hàm số \(y = \frac{x + m}{x - 1}\) (với \(m\) là tham số thực). Khi đó:
a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
b) Khi \(m = 2\), hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
c) Khi \(m = 2\), trên đoạn \([2; 4]\) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(4\).
d) Có đúng 1 giá trị của \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([2; 4]\) bằng \(3\).
Lời giải:
| a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
|---|
Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Đạo hàm: \(y' = \frac{-1 - m}{(x-1)^2}\).
- a) Đúng: Điều kiện xác định là \(x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1\).
- b) Sai: Khi \(m = 2\), \(y' = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0\) với mọi \(x \neq 1\), nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
- c) Đúng: Vì hàm số nghịch biến trên \([2; 4]\) nên \(\max_{[2; 4]} y = y(2) = \frac{2 + 2}{2 - 1} = 4\).
- d) Đúng: Để GTLN trên \([2; 4]\) bằng \(3\): do hàm số đơn điệu trên \([2; 4]\), nếu \(m > -1\) thì \(\max y = y(2) = 2 + m = 3 \Rightarrow m = 1\) (thỏa mãn). Nếu \(m < -1\) thì \(\max y = y(4) = \frac{4+m}{3} = 3 \Rightarrow m = 5\) (loại vì \(m < -1\)). Vậy có duy nhất 1 giá trị \(m = 1\).
