Tóm tắt kiến thức: Các bài toán ứng dụng thực tiễn của đạo hàm trong chương trình Toán 12 đòi hỏi việc chuyển đổi các vấn đề thực tế (vật ...
Tóm tắt kiến thức: Các bài toán ứng dụng thực tiễn của đạo hàm trong chương trình Toán 12 đòi hỏi việc chuyển đổi các vấn đề thực tế (vật lý, kinh tế, hình học) thành mô hình hàm số toán học. Bằng cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một tập xác định phù hợp thông qua đạo hàm và bảng biến thiên, ta có thể tìm ra phương án tối ưu nhất.
1. Bài toán Tối ưu hóa trong Vật lý và Chuyển động
Bài 1: Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình dạng: \[s(t) = -t^3 + 6t^2 + 1\] trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Hỏi chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?
Lời giải:
Vận tốc tức thời của chất điểm là đạo hàm cấp nhất của quãng đường theo thời gian:
\[t = -\frac{12}{2(-3)} = 2\text{ (giây)}\]Vì \(t = 2 \in [0; 5]\), vận tốc tức thời của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại \(t = 2\):
\[v_{\max} = v(2) = -3(2)^2 + 12(2) = 12\text{ (m/s)}\]Vậy vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 5 giây đầu tiên là \(12\text{ m/s}\).
Vận tốc tức thời của chất điểm là đạo hàm cấp nhất của quãng đường theo thời gian:
\[v(t) = s'(t) = -3t^2 + 12t\]
Xét hàm số \(v(t)\) trên đoạn \([0; 5]\). Đồ thị hàm số \(v(t)\) là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới, đỉnh tại điểm có hoành độ:\[t = -\frac{12}{2(-3)} = 2\text{ (giây)}\]Vì \(t = 2 \in [0; 5]\), vận tốc tức thời của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại \(t = 2\):
\[v_{\max} = v(2) = -3(2)^2 + 12(2) = 12\text{ (m/s)}\]Vậy vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 5 giây đầu tiên là \(12\text{ m/s}\).
2. Bài toán Tối ưu Thể tích và Hình học
Bài 2: Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng \(60\text{ cm}\), người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp hình hộp chữ nhật không nắp. Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc hộp là lớn nhất.
Lời giải:
Gọi \(x\text{ (cm)}\) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc. Điều kiện: \(0 < x < 30\).
Khi gập lại, chiếc hộp chữ nhật có chiều cao là \(x\) và đáy là hình vuông có cạnh bằng \(60 - 2x\text{ (cm)}\).
Thể tích chiếc hộp được tính theo công thức:
\[V'(x) = 12x^2 - 480x + 3600\]Giải phương trình \(V'(x) = 0\):
\[12x^2 - 480x + 3600 = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 10 \text{ (thỏa mãn)} \\ x = 30 \text{ (loại)} \end{bmatrix}\]Lập bảng biến thiên trên khoảng \((0; 30)\), ta thấy hàm số \(V(x)\) đạt cực đại tại \(x = 10\).
Vậy để thể tích chiếc hộp đạt giá trị lớn nhất, độ dài cạnh của các hình vuông bị cắt là \(10\text{ cm}\).
Gọi \(x\text{ (cm)}\) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc. Điều kiện: \(0 < x < 30\).
Khi gập lại, chiếc hộp chữ nhật có chiều cao là \(x\) và đáy là hình vuông có cạnh bằng \(60 - 2x\text{ (cm)}\).
Thể tích chiếc hộp được tính theo công thức:
\[V(x) = x(60 - 2x)^2 = 4x^3 - 240x^2 + 3600x\]
Ta tính đạo hàm:\[V'(x) = 12x^2 - 480x + 3600\]Giải phương trình \(V'(x) = 0\):
\[12x^2 - 480x + 3600 = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 10 \text{ (thỏa mãn)} \\ x = 30 \text{ (loại)} \end{bmatrix}\]Lập bảng biến thiên trên khoảng \((0; 30)\), ta thấy hàm số \(V(x)\) đạt cực đại tại \(x = 10\).
Vậy để thể tích chiếc hộp đạt giá trị lớn nhất, độ dài cạnh của các hình vuông bị cắt là \(10\text{ cm}\).
3. Bài toán Tối ưu hóa Chi phí và Doanh thu Kinh tế
Bài 3: Người quản lý của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng nếu giá thuê là 8 triệu đồng/tháng thì tất cả các căn hộ đều được thuê. Cứ mỗi lần tăng giá thuê thêm 100 nghìn đồng/tháng thì có thêm 1 căn hộ bị bỏ trống. Người quản lý nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để tổng doanh thu hàng tháng là lớn nhất?
Lời giải:
Gọi \(x\) là số lần tăng giá 100 nghìn đồng (\(x \ge 0\)).
Giá thuê một căn hộ khi đó là: \(8 + 0,1x\) (triệu đồng/tháng).
Số căn hộ được thuê là: \(100 - x\) (căn hộ).
Tổng doanh thu thu được trong một tháng là:
\[R'(x) = -0,2x + 2\]Cho \(R'(x) = 0 \Leftrightarrow -0,2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 10\).
Vì \(R(x)\) là hàm bậc hai có hệ số \(a = -0,1 < 0\) nên đạt giá trị lớn nhất tại điểm đỉnh \(x = 10\).
Giá thuê mỗi căn hộ tối ưu là: \(8 + 0,1(10) = 9\) (triệu đồng/tháng).
Gọi \(x\) là số lần tăng giá 100 nghìn đồng (\(x \ge 0\)).
Giá thuê một căn hộ khi đó là: \(8 + 0,1x\) (triệu đồng/tháng).
Số căn hộ được thuê là: \(100 - x\) (căn hộ).
Tổng doanh thu thu được trong một tháng là:
\[R(x) = (8 + 0,1x)(100 - x) = -0,1x^2 + 2x + 800\text{ (triệu đồng)}\]
Xét hàm số \(R(x)\) với \(x \ge 0\):\[R'(x) = -0,2x + 2\]Cho \(R'(x) = 0 \Leftrightarrow -0,2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 10\).
Vì \(R(x)\) là hàm bậc hai có hệ số \(a = -0,1 < 0\) nên đạt giá trị lớn nhất tại điểm đỉnh \(x = 10\).
Giá thuê mỗi căn hộ tối ưu là: \(8 + 0,1(10) = 9\) (triệu đồng/tháng).
Bài 4: Anh Nam muốn dành ra một khu đất hình chữ nhật có diện tích \(200\text{ m}^2\) để trồng cây. Anh dự kiến rào quanh ba cạnh bằng lưới thép, cạnh còn lại tận dụng bức tường có sẵn. Chiều rộng khu đất không vượt quá \(15\text{ m}\). Tìm chiều rộng khu đất để tổng chiều dài lưới thép cần dùng là ngắn nhất.
Lời giải:
Gọi chiều rộng khu đất là \(x\text{ (m)}\). Điều kiện: \(0 < x \le 15\).
Vì diện tích khu đất là \(200\text{ m}^2\) nên chiều dài khu đất là \(\frac{200}{x}\text{ (m)}\).
Tổng chiều dài lưới thép rào 3 cạnh (gồm 2 chiều rộng và 1 chiều dài) là:
\[L(x) = 2x + \frac{200}{x}\]Ta có đạo hàm:
\[L'(x) = 2 - \frac{200}{x^2} = \frac{2(x^2 - 100)}{x^2}\]Trên khoảng \((0; 15]\), \(L'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 100 \Leftrightarrow x = 10\text{ (do } x > 0\text{)}.\)
Bảng biến thiên trên \((0; 15]\):
- Trên \((0; 10)\), \(L'(x) < 0\) (hàm số nghịch biến).
- Trên \((10; 15]\), \(L'(x) > 0\) (hàm số đồng biến).
Do đó, \(L(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 10\).
Vậy chiều rộng của khu đất bằng \(10\text{ m}\) thì tổng chiều dài lưới thép dùng ít nhất.
Gọi chiều rộng khu đất là \(x\text{ (m)}\). Điều kiện: \(0 < x \le 15\).
Vì diện tích khu đất là \(200\text{ m}^2\) nên chiều dài khu đất là \(\frac{200}{x}\text{ (m)}\).
Tổng chiều dài lưới thép rào 3 cạnh (gồm 2 chiều rộng và 1 chiều dài) là:
\[L(x) = 2x + \frac{200}{x}\]Ta có đạo hàm:
\[L'(x) = 2 - \frac{200}{x^2} = \frac{2(x^2 - 100)}{x^2}\]Trên khoảng \((0; 15]\), \(L'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 100 \Leftrightarrow x = 10\text{ (do } x > 0\text{)}.\)
Bảng biến thiên trên \((0; 15]\):
- Trên \((0; 10)\), \(L'(x) < 0\) (hàm số nghịch biến).
- Trên \((10; 15]\), \(L'(x) > 0\) (hàm số đồng biến).
Do đó, \(L(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 10\).
Vậy chiều rộng của khu đất bằng \(10\text{ m}\) thì tổng chiều dài lưới thép dùng ít nhất.
