Tóm tắt nội dung bài học: Bài viết này hệ thống toàn bộ lý thuyết nền tảng về đường thẳng trong hệ tọa độ Oxyz. Các nội dung bao gồm khái n...
Tóm tắt nội dung bài học: Bài viết này hệ thống toàn bộ lý thuyết nền tảng về đường thẳng trong hệ tọa độ Oxyz. Các nội dung bao gồm khái niệm vectơ chỉ phương, dạng phương trình tham số, dạng phương trình chính tắc, phương pháp viết phương trình đi qua hai điểm phân biệt, điều kiện để hai đường thẳng vuông góc và các phương pháp xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian (song song, trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau).
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Một vectơ \(\vec{u} \neq \vec{0}\) được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng \(\Delta\) nếu đường thẳng mang giá của \(\vec{u}\) song song hoặc trùng với \(\Delta\).
Chú ý:
- Đường thẳng được xác định hoàn toàn khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP.
- Nếu \(\vec{u}\) là một VTCP của \(\Delta\) thì \(k\vec{u}\) (với \(k \neq 0\)) cũng là một VTCP của \(\Delta\).
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(x_0; y_0; z_0)\) và nhận \(\vec{u} = (a; b; c)\) làm VTCP có phương trình tham số là:
\[\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]
Nhận xét: Mỗi giá trị cụ thể của tham số \(t\) sẽ cho ta tọa độ của một điểm nằm trên đường thẳng \(\Delta\) và ngược lại.
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Nếu các thành phần của VTCP \(\vec{u} = (a; b; c)\) đều khác 0 (\(a, b, c \neq 0\)), đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(A(x_0; y_0; z_0)\) có thể viết dưới dạng phương trình chính tắc:
\[\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\]
4. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt \(A_1(x_1; y_1; z_1)\) và \(A_2(x_2; y_2; z_2)\) nhận vectơ \(\vec{A_1A_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)\) làm VTCP.
• Phương trình tham số:
\[\begin{cases} x = x_1 + (x_2 - x_1)t \\ y = y_1 + (y_2 - y_1)t \\ z = z_1 + (z_2 - z_1)t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]
• Phương trình chính tắc (khi \(x_1 \neq x_2, y_1 \neq y_2, z_1 \neq z_2\)):
\[\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}\]
5. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng \(\Delta_1\) đi qua \(A_1(x_1; y_1; z_1)\) có VTCP \(\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1)\) và \(\Delta_2\) đi qua \(A_2(x_2; y_2; z_2)\) có VTCP \(\vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)\).
Điều kiện vuông góc:
\[\Delta_1 \perp \Delta_2 \iff \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0 \iff a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0\]
Các vị trí tương đối:
- \(\Delta_1 \parallel \Delta_2 \iff \vec{u}_1\) cùng phương \(\vec{u}_2\) và \(A_1 \notin \Delta_2\).
- \(\Delta_1 \equiv \Delta_2 \iff \vec{u}_1\) cùng phương \(\vec{u}_2\) và \(A_1 \in \Delta_2\).
- \(\Delta_1\) cắt \(\Delta_2 \iff [\vec{u}_1, \vec{u}_2] \neq \vec{0}\) và \(\vec{A_1A_2} \cdot [\vec{u}_1, \vec{u}_2] = 0\).
- \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) chéo nhau \(\iff \vec{A_1A_2} \cdot [\vec{u}_1, \vec{u}_2] \neq 0\).
Phương pháp đại số (dùng hệ phương trình tham số):
Xét hệ phương trình tạo bởi phương trình tham số của \(\Delta_1\) (tham số \(t\)) và \(\Delta_2\) (tham số \(s\)):
\[\begin{cases} x_1 + a_1 t = x_2 + a_2 s \\ y_1 + b_1 t = y_2 + b_2 s \\ z_1 + c_1 t = z_2 + c_2 s \end{cases}\]
- Hệ vô nghiệm và hai VTCP cùng phương \(\Rightarrow \Delta_1 \parallel \Delta_2\).
- Hệ vô nghiệm và hai VTCP không cùng phương \(\Rightarrow \Delta_1\) và \(\Delta_2\) chéo nhau.
- Hệ có nghiệm duy nhất \(\Rightarrow \Delta_1\) cắt \(\Delta_2\).
- Hệ có vô số nghiệm \(\Rightarrow \Delta_1 \equiv \Delta_2\).
