Tài liệu tuyển tập câu hỏi trong đề thi chọn học sinh giỏi THPT môn Toán cấp tỉnh (Đề thi thử số 25). Nội dung bao gồm cả hai phần thi: Trắ...
I. BẢNG ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 12
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN
| 1. A | 2. C | 3. B | 4. B | 5. B | 6. C | 7. C |
| 8. D | 9. D | 10. C | 11. A | 12. A | 13. B | 14. D |
| 15. C | 16. A | 17. D | 18. B | 19. C | 20. B | 21. D |
| 22. C | 23. C | 24. A | 25. C | 26. D | 27. B | 28. A |
| 29. C | 30. B | 31. B | 32. D | 33. D | 34. B | 35. A |
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
| Câu | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | 21 | 22 | 544 | 3 | 22,5 | 36 | 7 | 2 | 0 | 67,5 | 55,7 | 0,6 | 1328 | 2,45 | 1,45 |
II. CÂU HỎI VÀ LỜI GIẢI CHỌN LỌC TIÊU BIỂU
Câu 1. Trong một hộp đựng 4 quả cầu màu trắng và 9 quả cầu màu đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách lấy một quả cầu trong hộp nói trên?
A. 13
B. 9
C. 4
D. 36
Lời giải:
Chọn A.
Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lấy là: \(4 + 9 = 13\).
Câu 3. Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta: x - 2y - 2 = 0\) tại điểm \(M\) có tọa độ là:
A. \(M\left(\frac{9}{5}; \frac{1}{5}\right)\)
B. \(M\left(\frac{9}{5}; -\frac{1}{5}\right)\)
C. \(M\left(-\frac{9}{5}; \frac{1}{5}\right)\)
D. \(M\left(\frac{1}{5}; \frac{9}{5}\right)\)
Lời giải:
Chọn B.
Đường thẳng \(IM\) đi qua \(I(1; 2)\) và vuông góc với \(\Delta\) nên có phương trình \(2x + y - 4 = 0\). Do đó tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:
\[\begin{cases} x - 2y - 2 = 0 \\ 2x + y - 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{9}{5} \\ y = -\frac{1}{5} \end{cases}\]
Vậy \(M\left(\frac{9}{5}; -\frac{1}{5}\right)\).
Câu 6. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80 000 đồng; kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5 000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Hỏi gia đình phải trả ít nhất bao nhiêu tiền (đơn vị nghìn đồng) để khoan cái giếng đó?
A. 10 125
B. 8 250
C. 10 100
D. 5 050
Lời giải:
Chọn C.
Gọi \(u_n\) là giá tiền (nghìn đồng) trả cho mét khoan thứ \(n\). Dãy số \((u_n)\) lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1 = 80\) và công sai \(d = 5\).
Tổng số tiền ít nhất phải trả cho 50m khoan là:
\[S_{50} = \frac{50}{2} \cdot \left[2u_1 + (50 - 1)d\right] = 25 \cdot \left[2 \cdot 80 + 49 \cdot 5\right] = 10100\text{ (nghìn đồng)}\]
Câu 36 (Trắc nghiệm trả lời ngắn). Biết rằng phương trình \(\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 8} = 5\) có đúng một nghiệm có dạng \(x = a + b\) với \(a, b\) là các số nguyên. Tính giá trị của \(a + b\).
Lời giải:
Trả lời: 21
Điều kiện: \(x \ge -3\). Bình phương hai vế phương trình ta được:
\[(x + 3) + (x + 8) + 2\sqrt{(x + 3)(x + 8)} = 25 \Leftrightarrow 2\sqrt{x^2 + 11x + 24} = 14 - 2x \Leftrightarrow \sqrt{x^2 + 11x + 24} = 7 - x\]
\[\Leftrightarrow \begin{cases} x \le 7 \\ x^2 + 11x + 24 = (7 - x)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \le 7 \\ 25x = 25 \end{cases} \Leftrightarrow x = 1\]
Thử lại thỏa mãn. Do đó nghiệm là \(x = 1\). Ta có \(a + b = 21\).
Câu 40 (Trắc nghiệm trả lời ngắn). Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a = 3\), góc giữa đường thẳng \(A'C\) và mặt phẳng \((ABC)\) bằng \(60^\circ\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Lời giải:
Trả lời: 22,5
Hình chiếu vuông góc của \(A'C\) lên mặt phẳng \((ABC)\) là \(AC\). Do đó góc giữa \(A'C\) và \((ABC)\) là góc \(\widehat{A'CA} = 60^\circ\).
Xét tam giác \(A'AC\) vuông tại \(A\):
\[AA' = AC \cdot \tan 60^\circ = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\]
Diện tích đáy là tam giác đều \(ABC\):
\[S_{\Delta ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}\]
Thể tích khối lăng trụ là:
\[V = S_{\Delta ABC} \cdot AA' = \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{81}{4} = 20,25\]
