Bộ tài liệu đề thi học sinh giỏi Toán 12 được biên soạn bám sát cấu trúc đề minh họa mới. Đề thi kết hợp đầy đủ 3 dạng thức trắc nghiệm: Lự...
Bộ tài liệu đề thi học sinh giỏi Toán 12 được biên soạn bám sát cấu trúc đề minh họa mới. Đề thi kết hợp đầy đủ 3 dạng thức trắc nghiệm: Lựa chọn phương án, Đúng/Sai và Trả lời ngắn. Tài liệu đi kèm bảng đáp án cùng lời giải chi tiết giúp học sinh ôn tập và nâng cao kĩ năng giải toán chuyên sâu.
PHẦN 1. CÂU TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN
Câu 1. Trên khoảng \((0; 2\pi)\), phương trình \(\sin x + \cos x = 1\) có số nghiệm là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Câu 2. Số giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \(4^x - m \cdot 2^{x+1} + 2m = 0\) có hai nghiệm trái dấu là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 3. Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) thỏa mãn \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = 3\) và \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -1\). Độ dài của vectơ \(\vec{a} + 2\vec{b}\) bằng:
A. \(\sqrt{31}\)
B. 31
C. 6
D. \(\sqrt{32}\)
Câu 9. Biết đồ thị của hàm số \(y = \frac{(2a-b)x + a}{x + b}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 3\). Tính \(a + b\).
A. 1
B. -1
C. 5
D. 2
PHẦN 2. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 21. Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\) với \(AB = a, AC = a\sqrt{3}\). Biết rằng góc phẳng nhị diện \([B, AC', B']\) bằng \(60^\circ\). Khi đó:
a) \(AC' \perp AB\)
b) \(\widehat{BAC'} = 60^\circ\)
c) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng \(a^3\)
d) Góc phẳng nhị diện \([C, AB, C']\) gần bằng \(60^\circ\)
PHẦN 3. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 27. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = f(x^2 - 2x + m)\) có đúng 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của đường thẳng \(x = 1\). Tính tổng các phần tử của tập hợp \(S\).
Câu 30. Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x; y)\) thỏa mãn \(e^x + e^y \le e^{x+y}\) và \(x + y \le 10\)?
BẢNG ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bảng đáp án Phần 1
| Câu | 1 | 2 | 3 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| Đáp án | C | C | C | A |
Lời giải chi tiết một số câu hỏi tiêu biểu
Câu 1: Chọn C.
Ta có: \(\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \Leftrightarrow \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Vì \(x \in (0; 2\pi)\) nên phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên khoảng xét.
Câu 3: Chọn C.
Ta có: \(|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = \vec{a}^2 + 4\vec{a}\cdot\vec{b} + 4\vec{b}^2 = 2^2 + 4(-1) + 4(3^2) = 36 \Rightarrow |\vec{a} + 2\vec{b}| = 6\).
Câu 21:
a) Đúng. Do lăng trụ đứng nên \(BB' \perp (ABC) \Rightarrow AB \perp BB'\), lại có \(AB \perp AC \Rightarrow AB \perp (ACC'A') \Rightarrow AB \perp AC'\).
b) Đúng. Ta có \(AC' \perp AB\) và \(AC' \perp B'C'\) nên góc phẳng nhị diện là \(\widehat{BAC'} = 60^\circ\).
c) Sai. Thể tích khối lăng trụ tính được khác \(a^3\).
d) Đúng. Xét tam giác vuông \(ABC\) và góc phẳng nhị diện liên quan cho kết quả xấp xỉ \(60^\circ\).
