Tóm tắt nội dung: Đề thi thử chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 (Đề số 22) được biên soạn bám sát cấu trúc đổi mới. Đề bài bao gồm đầy đủ ...
Tóm tắt nội dung: Đề thi thử chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 (Đề số 22) được biên soạn bám sát cấu trúc đổi mới. Đề bài bao gồm đầy đủ 3 phần: Trắc nghiệm nhiều lựa chọn, Trắc nghiệm đúng/sai và Trắc nghiệm trả lời ngắn, phủ rộng các chủ đề trọng tâm như Hàm số, Hình học không gian Oxyz, Vectơ, Thống kê ghép nhóm và Lượng giác.
PHẦN I: Câu hỏi trắc nghiệm 4 lựa chọn
Câu 2. Gọi Call m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 35\) trên đoạn \([-4; 4]\). Tính tổng \(M + m\).
A. \(M + m = -1\)
B. \(M + m = -2\)
C. \(M + m = 1\)
D. \(M + m = 2\)
Lời giải:
Ta có: \(y' = 3x^2 - 6x - 9\). Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow x = -1\) hoặc \(x = 3\) (đều thuộc đoạn \([-4; 4]\)).
Tính giá trị tại các điểm biên và cực trị: \(y(-4) = -41\), \(y(4) = 15\), \(y(-1) = 40\), \(y(3) = 8\).
Suy ra \(m = \min_{[-4;4]} y = -41\) và \(M = \max_{[-4;4]} y = 40\).
Vậy \(M + m = 40 + (-41) = -1\). Chọn A.
Câu 10. Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của 20 con nai và thu được kết quả như sau:
| Tuổi thọ | [14;15) | [15;16) | [16;17) | [17;18) | [18;19) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số con nai | 1 | 3 | 8 | 6 | 2 |
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là:
A. \([18; 19)\)
B. \([15; 16)\)
C. \([16; 17)\)
D. \([17; 18)\)
Lời giải:
Cỡ mẫu \(n = 1 + 3 + 8 + 6 + 2 = 20\).
Tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) là giá trị vị trí thứ \(15.5\) trong mẫu số liệu đã sắp xếp. Do đó nhóm chứa \(Q_3\) là \([17; 18)\). Chọn D.
PHẦN II: Câu trắc nghiệm đúng sai
Câu 4. Hàng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thuỷ triều. Chiều cao \(h\) (mét) của mực nước theo thời gian \(t\) (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức \(h(t) = 3\cos\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) + 12\) với \(0 \le t \le 24\).
a) Có 2 thời điểm trong 1 ngày chiều cao của mực nước tại bến cảng là cao nhất.
b) Chiều cao của mực nước tại bến cảng thấp nhất vào lúc 12 giờ.
c) Có 3 thời điểm trong 1 ngày mực nước tại bến cảng cao 13,5m.
d) Biết tàu chỉ vào được cảng khi mực nước không thấp hơn 13,5m. Vậy thời gian tàu vào được cảng là từ 1 giờ đến 5 giờ.
Lời giải:
a) Đúng. Vì \(\cos\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) \le 1 \Rightarrow h(t) \le 15\). Đạt cực đại khi \(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3} = k2\pi \Rightarrow t = 10\) và \(t = 22\) (2 thời điểm).
b) Sai. Mực nước thấp nhất khi \(\cos\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = -1 \Rightarrow t = 4\) hoặc \(t = 16\).
c) Sai. Phương trình \(h(t) = 13.5 \Leftrightarrow \cos\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = 0.5\) cho các nghiệm \(t \in \{1, 5, 13, 17\}\) (có 4 thời điểm).
d) Đúng. Trong khoảng từ 1 giờ đến 5 giờ, mực nước \(h(t) \ge 13.5\text{ m}\) đảm bảo cho tàu vào cảng an toàn.
PHẦN III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 3. Bác An tính xây một sân trước cửa nhà hình chữ nhật \(ABCD\) có độ dài các cạnh lần lượt là \(AB = 6\text{m}\) và \(AD = 12\text{m}\). Để tiện thoát nước, vị trí \(B\) thấp hơn vị trí \(A\) 7 cm, vị trí \(D\) thấp hơn vị trí \(A\) 9 cm. Xác định xem vị trí \(C\) thấp hơn vị trí \(A\) bao nhiêu cm?
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho gốc \(O \equiv A(0;0;0)\). Khi đó:
\(B(6; 0; -7)\), \(D(0; 12; -9)\).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = (6; 12; -16)\).
Suy ra tọa độ điểm \(C(6; 12; -16)\), nghĩa là vị trí \(C\) thấp hơn vị trí \(A\) 16 cm.
Đáp án: 16
