Tóm tắt nội dung: Tài liệu cung cấp đề thi thử học sinh giỏi môn Toán khối 12 cấp tỉnh năm học này. Cấu trúc bài thi cập nhật theo định dạ...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu cung cấp đề thi thử học sinh giỏi môn Toán khối 12 cấp tỉnh năm học này. Cấu trúc bài thi cập nhật theo định dạng mới gồm 3 phần: Trắc nghiệm 4 lựa chọn, Trắc nghiệm Đúng/Sai và Trắc nghiệm trả lời ngắn. Các câu hỏi phân hóa bao quát các chuyên đề Hàm số, Hình học không gian, Tích phân, Xác suất và Phương pháp tọa độ.
PHẦN I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 1 (TH): Tìm phương trình đường tròn tâm \(I(1; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta: 3x - 4y + 10 = 0\).
A. \((x-1)^2 + (y-2)^2 = 4\)
B. \((x-1)^2 + (y-2)^2 = 1\)
C. \((x+1)^2 + (y+2)^2 = 1\)
D. \((x-1)^2 + (y-2)^2 = 25\)
Lời giải: Chọn B
Bán kính đường tròn \(R = d(I, \Delta) = \frac{|3(1) - 4(2) + 10|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{5}{5} = 1\).
Phương trình đường tròn là: \((x-1)^2 + (y-2)^2 = 1\).
Câu 2 (TH): Một căn nhà có dạng là một hình lăng trụ ngũ giác đứng với các kích thước: chiều dài \(12m\), chiều rộng \(4m\), chiều cao tường \(4{,}3m\), chiều cao mái tam giác \(2m\). Tính thể tích căn nhà.
A. \(266{,}4 \text{ m}^3\)
B. \(206{,}4 \text{ m}^3\)
C. \(288 \text{ m}^3\)
D. \(312 \text{ m}^3\)
Lời giải: Chọn A
Diện tích mặt đáy hình ngũ giác bằng tổng diện tích hình chữ nhật và diện tích tam giác mái:
\[ S_{\text{đáy}} = 4 \times 4{,}3 + \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 17{,}2 + 4 = 21{,}2 \text{ (m}^2\text{)} \]
Thể tích căn nhà là:
\[ V = S_{\text{đáy}} \times h = 21{,}2 \times 12 = 266{,}4 \text{ (m}^3\text{)} \]
Câu 3 (TH): Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), biết hàm số \(y = f'(x)\) có các điểm cực trị và cắt trục hoành tại \(x = -1, 1, 4\). Hàm số \(g(x) = f(1 - 2x)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \((-\infty; -1)\)
B. \((-1; 0)\)
C. \((0; 1)\)
D. \((1; 4)\)
Lời giải: Chọn C
Ta có \(g'(x) = -2 f'(1 - 2x)\). Hàm số đồng biến khi \(g'(x) > 0 \Leftrightarrow f'(1 - 2x) < 0\).
Dựa vào đồ thị ta có \(f'(t) < 0 \Leftrightarrow t \in (-1; 1) \cup (4; +\infty)\).
Do đó: \(-1 < 1 - 2x < 1 \Leftrightarrow 0 < x < 1\).
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh bằng \(a\), \(\widehat{ABC} = 60^\circ\) và tam giác \(SAB\) đều. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\). Mặt phẳng \((\alpha)\) thay đổi đi qua \(GP\) vuông góc với \((SAB)\).
a) \(SG = \frac{a\sqrt{3}}{3}\)
b) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{a^3\sqrt{3}}{4}\)
c) Khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng \((SCD)\) bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
d) Giá trị lớn nhất của góc \(\varphi\) bằng \(60^\circ\)
Lời giải:
a) ĐÚNG. Vì \(\Delta SAB\) đều cạnh \(a\) nên đường trung tuyến bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\), do đó \(SG = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\).
b) SAI. Diện tích hình thoi \(S_{ABCD} = a^2 \sin 60^\circ = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\). Thể tích tính lại không đạt \(\frac{a^3\sqrt{3}}{4}\).
c) ĐÚNG. Khoảng cách từ \(G\) đến \((SCD)\) xác định đúng bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{4}\).
d) SAI.
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1: Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A(1; 0; 2)\) và hai đường thẳng \(d_1, d_2\). Phương trình đường thẳng \(\Delta\) qua \(A\) vuông góc với \(d_1\) và cắt \(d_2\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec{u} = (1; b; c)\). Tính giá trị biểu thức \(T = b + c\).
Lời giải:
Đáp số: 0
Gọi \(M\) là giao điểm của \(\Delta\) và \(d_2\). Dùng điều kiện vuông góc \(\vec{AM} \cdot \vec{u}_{d1} = 0\) để tìm tọa độ điểm \(M\). Từ đó xác định được vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (1; 0; -1)\), suy ra \(b = 0, c = -1 \Rightarrow T = 0\).
