Tóm tắt nội dung: Tài liệu hướng dẫn giải chi tiết các câu hỏi Luyện tập và Vận dụng trong Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số thuộ...
1. Luyện tập 1 (Trang 6 - SGK Toán 12 KNTT)
Đề bài: Hình 1.5 là đồ thị của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \). Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
Phương pháp giải:
- Trên khoảng \( K \), nếu đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải thì hàm số đồng biến trên \( K \).
- Trên khoảng \( K \), nếu đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải thì hàm số nghịch biến trên \( K \).
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \).
- Trong các khoảng \( (-\infty; 0) \) và \( (2; +\infty) \), đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải, do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty; 0) \) và \( (2; +\infty) \).
- Trong khoảng \( (0; 2) \), đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \( (0; 2) \).
2. Luyện tập 2 (Trang 7 - SGK Toán 12 KNTT)
Đề bài: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \( y = -x^2 + 2x + 3 \).
Phương pháp giải: Sử dụng định lí về mối quan hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu:
- Nếu \( y' > 0 \) với mọi \( x \in K \) thì hàm số đồng biến trên khoảng \( K \).
- Nếu \( y' < 0 \) với mọi \( x \in K \) thì hàm số nghịch biến trên khoảng \( K \).
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \).
Ta có đạo hàm: \( y' = -2x + 2 \).
- Xét \( y' > 0 \Leftrightarrow -2x + 2 > 0 \Leftrightarrow x < 1 \) (tức là \( x \in (-\infty; 1) \)).
- Xét \( y' < 0 \Leftrightarrow -2x + 2 < 0 \Leftrightarrow x > 1 \) (tức là \( x \in (1; +\infty) \)).
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; 1) \) và nghịch biến trên khoảng \( (1; +\infty) \).
3. Luyện tập 3 (Trang 9 - SGK Toán 12 KNTT)
Đề bài: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) \( y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 5x + 2 \)
b) \( y = \frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 2} \)
Phương pháp giải: Quy trình xét tính đơn điệu của hàm số:
- Tìm tập xác định.
- Tính đạo hàm \( y' \), tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Lập bảng biến thiên.
- Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.
Lời giải:
Câu a) \( y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 5x + 2 \)
- Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \).
- Đạo hàm: \( y' = x^2 + 6x + 5 \).
- Cho \( y' = 0 \Leftrightarrow x^2 + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = -1 \) hoặc \( x = -5 \).
- Bảng biến thiên:
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-5\) | \(-1\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(y\) | \(-\infty\) | \( \nearrow \) | \( \frac{32}{3} \) | \( \searrow \) | \( -\frac{2}{3} \) | \( \nearrow \) | \(+\infty\) |
Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty; -5) \) và \( (-1; +\infty) \).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-5; -1) \).
Câu b) \( y = \frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 2} \)
- Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{2\} \).
- Đạo hàm:
\[ y' = \frac{(-2x + 5)(x - 2) - (-x^2 + 5x - 7)}{(x - 2)^2} = \frac{-2x^2 + 9x - 10 + x^2 - 5x + 7}{(x - 2)^2} = \frac{-x^2 + 4x - 3}{(x - 2)^2} \]
- Cho \( y' = 0 \Leftrightarrow -x^2 + 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \) hoặc \( x = 3 \) (thỏa mãn \( x \neq 2 \)).
- Bảng biến thiên:
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y'\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(||\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(y\) | \(+\infty\) | \( \searrow \) | \(3\) | \( \nearrow \) | \(||\) | \( \nearrow \) | \(-1\) | \( \searrow \) | \(-\infty\) |
Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (1; 2) \) và \( (2; 3) \).
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty; 1) \) và \( (3; +\infty) \).
4. Vận dụng 1 (Trang 9 - SGK Toán 12 KNTT)
Tình huống mở đầu: Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Giả sử vị trí \( s(t) \) (mét) của chất điểm trên trục số tại thời điểm \( t \) (giây) được cho bởi công thức: \( s(t) = -t^3 + 6t^2 + 15t \) (với \( t \ge 0 \)). Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?
Đề bài: Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của \( s(t) \). Hãy tìm vận tốc \( v(t) \).
b) Xét dấu của hàm \( v(t) \), từ đó suy ra câu trả lời.
Phương pháp giải:
- Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của \( s(t) \): \( v(t) = s'(t) \).
- Chất điểm chuyển động sang phải (chiều dương) khi \( v(t) > 0 \).
- Chất điểm chuyển động sang trái (chiều âm) khi \( v(t) < 0 \).
Lời giải:
a) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \( t \) là:
\[ v(t) = s'(t) = (-t^3 + 6t^2 + 15t)' = -3t^2 + 12t + 15 \text{ (m/s)} \]
b) Xét dấu của hàm số \( v(t) \) trên tập \( [0; +\infty) \):
Cho \( v(t) = 0 \Leftrightarrow -3t^2 + 12t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = 5 \) hoặc \( t = -1 \) (loại vì \( t \ge 0 \)).
Vì hệ số \( a = -3 < 0 \), trong khoảng nghiệm \( [0; 5) \) ta có \( v(t) > 0 \), và với \( t > 5 \) ta có \( v(t) < 0 \).
- Khi \( v(t) > 0 \) (tức là \( 0 \le t < 5 \)): Chất điểm chuyển động sang phải.
- Khi \( v(t) < 0 \) (tức là \( t > 5 \)): Chất điểm chuyển động sang trái.
Kết luận:
- Trong khoảng thời gian từ \( 0 \) đến \( 5 \) giây, chất điểm chuyển động sang phải.
- Từ giây thứ \( 5 \) trở đi, chất điểm chuyển động sang trái.
