Tóm tắt nội dung: Tài liệu hướng dẫn phương pháp giải các bài toán nâng cao Toán 12 bao gồm: bài toán tính thể tích khối tứ diện đều liên ...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu hướng dẫn phương pháp giải các bài toán nâng cao Toán 12 bao gồm: bài toán tính thể tích khối tứ diện đều liên quan đến khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hình chóp, và bài toán tính xác suất của hai biến cố độc lập.
Phần 1: Bài Tập Hình Học Không Gian
Câu 4: Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(B\). Biết \(SA \perp (ABC)\). Hạ \(AH \perp SB, AK \perp SC\). Biết rằng kết quả thể tích khối tứ diện đều có 2 cạnh đối lần lượt thuộc 2 đường thẳng \(SC\) và \(AH\) có dạng \(\frac{a^3\sqrt{m}}{n}\). Hãy tính giá trị liên quan.
Lời giải:
Trả lời: 18
Trước hết, trong tứ diện đều cạnh \(x\) thì:
- Khoảng cách giữa 2 cạnh đối là: \(d = \frac{x\sqrt{2}}{2}\)
- Thể tích là: \(V = \frac{x^3\sqrt{2}}{12}\)
Ta có \(AH \perp SB\).
Hạ \(AK \perp SC\) thì do \(AH \perp (SBC) \Rightarrow AH \perp SC\).
Nên \(SC \perp (AHK) \Rightarrow SC \perp HK\) (1)
Ta có \(AH \perp SB\) và \(AH \perp BC \Rightarrow AH \perp (SBC) \Rightarrow AH \perp HK\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(HK\) là đoạn vuông góc chung, tức là khoảng cách giữa \(SC\) và \(AH\).
\[\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AB^2}\]
Hay \(\frac{x\sqrt{2}}{2} = AH\). Từ đó suy ra thể tích khối tứ diện đều và kết quả cần tìm.
Phần 2: Bài Tập Xác Suất
Câu 5: Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là \(\frac{1}{5}\) và \(\frac{2}{7}\). Gọi \(A\) là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ”. Khi đó, xác suất của biến cố \(A\) bằng \(\frac{a}{b}\) (với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, \(a, b \in \mathbb{N}^*\)). Tính \(a + b\).
Lời giải:
Trả lời: 37
Gọi \(A\) là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ”.
Gọi \(A_1\) là biến cố: “Người thứ nhất ném trúng rổ”, suy ra \(P(A_1) = \frac{1}{5}\).
Gọi \(A_2\) là biến cố: “Người thứ hai ném trúng rổ”, suy ra \(P(A_2) = \frac{2}{7}\).
Ta thấy \(A_1\) và \(A_2\) là hai biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
\[P(A) = P(A_1 \cdot A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2) = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{35}\]
Do đó \(a = 2\) và \(b = 35\). Vậy \(a + b = 2 + 35 = 37\).
