Tài liệu tổng hợp hệ thống công thức tọa độ véctơ trong hệ trục Oxyz, bao gồm các phép toán cộng, trừ, nhân véctơ với một số, điều kiện cùng...
1. Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ cơ bản
Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai véctơ \(\vec{a} = (x; y; z)\) và \(\vec{b} = (x'; y'; z')\). Khi đó:
- Tổng hai véctơ: \(\vec{a} + \vec{b} = (x + x'; y + y'; z + z')\)
- Hiệu hai véctơ: \(\vec{a} - \vec{b} = (x - x'; y - y'; z - z')\)
- Tích của một số với véctơ: \(k\vec{a} = (kx; ky; kz)\) với \(k \in \mathbb{R}\)
Điều kiện cùng phương: Véctơ \(\vec{a}\) cùng phương với véctơ \(\vec{b} \neq \vec{0}\) khi và chỉ khi có số thực \(k\) sao cho:
\[\begin{cases} x = kx' \\ y = ky' \\ z = kz' \end{cases}\]
Tọa độ các điểm đặc biệt:
- Trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) với \(A(x_A; y_A; z_A)\), \(B(x_B; y_B; z_B)\): \[I\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2}\right)\]
- Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\): \[G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}; \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)\]
2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng và ứng dụng
Tích vô hướng của hai véctơ \(\vec{a} = (x; y; z)\) và \(\vec{b} = (x'; y'; z')\) được tính theo công thức:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = xx' + yy' + zz'\]Hệ quả và tính chất:
- Hai véctơ vuông góc: \(\vec{a} \perp \vec{b} \iff xx' + yy' + zz' = 0\)
- Độ dài véctơ: \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
- Góc giữa hai véctơ khác \(\vec{0}\):
\[\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{xx' + yy' + zz'}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}}\]
- Khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\):
\[AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\]
- Đặc biệt khi \(B \equiv O\): \[OA = \sqrt{x_A^2 + y_A^2 + z_A^2}\]
3. Ứng dụng hình học tính diện tích và thể tích
- Diện tích hình bình hành \(ABCD\): \[S = |[\vec{AB}, \vec{AD}]|\]
- Diện tích tam giác \(ABC\): \[S = \frac{1}{2} |[\vec{AB}, \vec{AC}]|\]
- Điều kiện ba véctơ \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) đồng phẳng: \[[\vec{u}, \vec{v}] \cdot \vec{w} = 0\]
- Thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\): \[V = |[\vec{AB}, \vec{AD}] \cdot \vec{AA'}|\]
- Thể tích khối tứ diện \(S.ABC\): \[V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}] \cdot \vec{SA}|\]
