Tóm tắt lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian - Toán 12

Tài liệu khái quát những kiến thức nền tảng về hệ trục tọa độ ba chiều Oxyz, cách xác định tọa độ của điểm và vectơ, cùng các quy tắc cốt lõ...

Tài liệu khái quát những kiến thức nền tảng về hệ trục tọa độ ba chiều Oxyz, cách xác định tọa độ của điểm và vectơ, cùng các quy tắc cốt lõi như điều kiện bằng nhau của hai vectơ và công thức tính tọa độ vectơ nối hai điểm phân biệt.

1. Hệ tọa độ trong không gian Oxyz

Trong không gian, hệ ba trục số \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) vuông góc với nhau từng đôi một tại gốc \(O\) được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz (gọi tắt là hệ tọa độ \(Oxyz\)).

• Gốc tọa độ: Điểm \(O\).
• Các vectơ đơn vị: \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) tương ứng nằm trên các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\).
• Các mặt phẳng tọa độ: \((Oxy)\), \((Oyz)\), \((Ozx)\) vuông góc với nhau từng đôi một.

2. Tọa độ điểm và tọa độ vectơ trong không gian

a) Tọa độ của một điểm:

Với một điểm \(M\) bất kỳ, bộ ba số \((x; y; z)\) duy nhất sao cho \(\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\) chính là tọa độ của điểm \(M\), ký hiệu \(M(x; y; z)\) hoặc \(M = (x; y; z)\).

Trong đó: \(x\) gọi là hoành độ, \(y\) gọi là tung độ và \(z\) gọi là cao độ của điểm \(M\).

b) Tọa độ của một vectơ:

Với vectơ \(\vec{a}\) bất kỳ, bộ ba số \((x; y; z)\) duy nhất thỏa mãn \(\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\) được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec{a}\), ký hiệu \(\vec{a} = (x; y; z)\) hoặc \(\vec{a}(x; y; z)\).

3. Tính chất và nhận xét

• Tọa độ của vectơ \(\vec{OM}\) chính là tọa độ của điểm \(M\).
• Hai vectơ \(\vec{a} = (x; y; z)\) và \(\vec{b} = (x'; y'; z')\) bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng bằng nhau:

\[\begin{cases} x = x' \\ y = y' \\ z = z' \end{cases}\]

Cho hai điểm \(M(x_M; y_M; z_M)\) và \(N(x_N; y_N; z_N)\). Tọa độ của vectơ \(\vec{MN}\) được tính bởi:

\[\vec{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M)\]

Xem và tải file PDF

[Tải file PDF ##download##]