Bài viết tóm tắt lý thuyết trọng tâm về Dãy số môn Toán lớp 11, bao gồm các định nghĩa về dãy số vô hạn, dãy số hữu hạn, các phương pháp ch...
Bài viết tóm tắt lý thuyết trọng tâm về Dãy số môn Toán lớp 11, bao gồm các định nghĩa về dãy số vô hạn, dãy số hữu hạn, các phương pháp cho dãy số, tính chất tăng giảm và tính bị chặn của dãy số.
1. Khái niệm về Dãy số
Định nghĩa:
- Mỗi hàm số \(u\) xác định trên tập các số nguyên dương \(\mathbb{N}^*\) được gọi là một dãy số vô hạn. Nghĩa là: \[u: \mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{R}\] \[n \mapsto u_n = u(n)\]
- Dãy số trên được kí hiệu là \((u_n)\).
- Dạng khai triển của dãy số \((u_n)\) là: \(u_1, u_2, u_3, \dots, u_n, \dots\)
Chú ý:
- \(u_1 = u(1)\) là số hạng đầu, \(u_n = u(n)\) là số hạng thứ \(n\) (số hạng tổng quát) của dãy số.
- Nếu \(u_n = c, \forall n \in \mathbb{N}^*\) thì ta nói \((u_n)\) là dãy số không đổi.
- Hàm số \(u\) xác định trên tập \(M = \{1, 2, 3, \dots, m\}\) với \(m \in \mathbb{N}^*\) thì được gọi là một dãy số hữu hạn.
- Dạng khai triển của dãy số này là: \(u_1, u_2, u_3, \dots, u_m\), trong đó \(u_1\) là số hạng đầu, \(u_m\) là số hạng cuối.
2. Cách xác định dãy số
Một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:
- Cho bằng liệt kê các số hạng.
- Cho bằng công thức của số hạng tổng quát.
- Cho bằng phương pháp truy hồi. Tức là:
- Cho số hạng đầu.
- Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ \(n\) qua số hạng đứng trước nó.
- Cho bằng phương pháp mô tả.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
Định nghĩa:
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \(u_{n+1} > u_n\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \(u_{n+1} < u_n\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn: Dãy số \((u_n)\) với \(u_n = (-3)^n\) tức là dãy \(-3, 9, -27, 81, \dots\) không tăng cũng không giảm.
4. Dãy số bị chặn
Định nghĩa:
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \(u_n \le M, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho \(u_n \ge m, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Tức là tồn tại các số \(m, M\) sao cho \(m \le u_n \le M, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
Chú ý:
- Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi \(u_1\).
- Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi \(u_1\).
