Đang ở: Home

Vẻ đẹp Toán học

20 cách chứng minh cho bất đẳng thức Nesbit - Phần 5

20 cách chứng minh cho bất đẳng thức Nesbit - Phần 5

DongPhD

20-11-2008 14:14

Đã đăng: Phần 1, Phần 2, Phần 3, Phần 4

Cách 13:

Ta có

$\sum_{cycl}\dfrac{a}{b+c}=$

$=$

Theo AM-GM ta có:

$\ged\frac{1}{2}(6-3)=$

Cách 14:

Đặt

$dfrac{a}{b+c}=$

Lúc đó

$xy+yz+zx+2xyz=$

BDT cần chứng minh là

$x+y+zgeq dfrac{3}{2}$

Ta chứng minh bằng phản chứng, nếu

$x+y+z< dfrac{3}{2}$

thì theo 2 BDT quen thuộc ta có

$1=xy+yz+zx+2xyzleq dfrac{(x+y+z)^2}{3}+2left(dfrac{x+y+z}{3}right)^3<1$

Mâu thuẫn!!!

Cách 15:

Theo AM-GM cho 2 số thì

$dfrac{a(b+c)}{b+c} + dfrac{a^{2}}{b+c} + dfrac{b+c}{4} geq 2a$

hay

$dfrac{a(a+b+c)}{b+c} + dfrac{b+c}{4} geq 2a$

Hoàn toàn tương tự, ta được

$dfrac{b(a+b+c)}{a+c} + dfrac{a+c}{4} geq 2b$

và

$dfrac{c(a+b+c)}{a+b} + dfrac{b+a}{4} geq 2c$

Cộng vế theo vế ta có kết quả

$(a+b+c)( dfrac{a}{b+c} + dfrac{b}{c+a} + dfrac{c}{b+a} ) geq dfrac{3}{2}(a+b+c)$

(...còn tiếp...)

Đăng một Nhận xét

Lưu ý khi viết một nhận xét

By Toán Học Việt Nam | Toán Trung Học | Toán Đại Học

» Nội dung nhận xét phải bằng tiếng Việt có dấu. Nếu không muốn hiển thị tên thì hãy chọn hồ sơ Ẩn danh. Nhấn Xuất bản một lần nữa nếu bị lỗi.
» Nếu đây là lần đầu bạn ghé thăm, hãy đăng kí nhận bài mới qua email.

^Lên đầu trang Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ