Số hoàn hảo, số giàu có

Câu hỏi đầu tiên thế nào gọi là số hoàn hảo? Nếu có một số tự nhiên bằng đúng tổng các ước số của nó ngoài bản thân nó thì số tự nhiên đó gọi là số hoàn hảo. 6 là số hoàn hảo nhỏ nhất; con số 6 trừ bản thân nó ra còn có 3 ước số là 1, 2, 3 và : 6=1+2+3. Ngoài số hoàn hảo ra còn có số không đầy đủ và số giàu có.
Nếu 1 số tự nhiên lớn hơn tổng các ước của nó trừ ước là bản thân nó thì nó là 1 số không đầy đủ .Ví dụ 8 ngoài bản thân nó có các ước là 1, 2, 4 và 8>1+2+4=7. Do đó 8 là 1 số không đầy đủ .

Nếu 1 số tự nhiên nhỏ hơn tổng các ước của nó trừ ước là bản thân nó thì nó là 1 số giàu có .Ví dụ 12 ngoài bản thân nó có các ước là 1, 2, 3, 4, 6 và 12<1+2+3+4+6=16. Do đó 12 là một số giàu có.
Trường phái Pitago phát hiện ra 3 loại số trên nghe nói có liên quan đến tín ngưỡng của họ. Họ cho rằng thượng đế dùng 6 ngày để sáng tạo ra thế giới, con số 6 là con số hoàn hảo nhất. Do đó họ coi các số có tính chất như số 6 là số hoàn hảo. Lại theo truyền thuyết toàn thể loài người do 8 vị thần linh tạo ra nhưng sáng tạo không được đầy đủ nên con số 8 gọi là "số không đầy đủ".

Ba loại số: Số hoàn hảo, Số không đầy đủ và Số giàu có , trong đó quan trọng nhất là số hoàn hảo. Số hoàn hảo có rất ít trong tự nhiên. Trong phạm vi 10.000 số chỉ có 4 số hoàn hảo là 6, 28, 496, 8128. Cho đến năm 1952 trải qua 2000 năm tìm kiếm người ta mới tìm được 12 con số hoàn hảo. Có điều thú vị là 12 con số hoàn hảo này đều là số chẵn. Vậy có tồn tại số hoàn hảo lẻ hay không ? Đây là 1 vấn đề toán học rất nổi tiếng chưa được giải quyết. Năm 1968 có một nhà toán học tuyên bố : Nếu tồn tại số hoàn hảo lẻ thì nó không thể ít hơn 36 chữ số. Xem ra dùng tay để tính thì không tìm được số đó.
Số hoàn hảo có một lịch sử rất lâu đời và nó còn có những tính chất kì diệu sau:

1. Mỗi số hoàn hảo có thể biểu diễn dưới dạng tổng các số tự nhiên liên tiếp, thí dụ :
   
   6 = 1+2+3
   28 = 1+2+3+4+5+6+7
   496 = 1+2+3+...+30+31
   8128 = 1+2+3+...+126+127
2. 
   Trừ số 6 ra số hoàn hảo có thể biểu diễn dưới dạng tổng các số lẻ lập phương liên tiếp cộng với nhau, ví dụ :
   
   
   
3. Tổng đảo của tất cả các ước số cuả số hoàn hảo đều bằng 2, ví dụ:
   
   1/1+1/2+1/3+1/6=2
   1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2
   1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2
   
   Các phân số ở vế trái đều những đơn phan số hay là các phân số cổ Ai Cập tức các phân số có tử
   
   bằng 1. Như vậy phân số cổ Ai Cập và số hoàn hảo Hy Lạp có mối quan hệ với nhau.
4. Ta thử biểu diễn các số hoàn hảo dưới hệ nhị phân xem thử sao:
   
   6=110
   28=11100
   496=111110000
   8128=1111111000000