Một thành viên diễn đàn toán học có hỏi bài toán sau: Bài toán . Cho các số thực dương $x, y$ thoả mãn $3\sin x + \sqrt{15\sin x \sin y}+5...
Một thành viên diễn đàn toán học có hỏi bài toán sau:
Bài toán. Cho các số thực dương $x, y$ thoả mãn
$3\sin x + \sqrt{15\sin x \sin y}+5\sin y= 7\sin(x+y)$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $x+y.$
Dưới là lời giải của Hồ Xuân Đức - fan cứng của fanpage diễn đàn toán học VN.
Lời giải.
Giả thiết: $x > 0, y > 0$. Điều kiện: $\sin x\sin y≥0$.
TH1. $\sin x\sin y=0$.
+Với $x=k \pi, k\in \mathbb{N*}$ thì $5\sin y=\pm 7\sin y \Rightarrow \sin y=0\Rightarrow y=m\pi, m\in \mathbb{N*}$
$\Rightarrow x+y=(m+k)\pi≥2\pi.$
+Tương tự với $y=k\pi$, ta cũng có $x+y≥2\pi.$
TH2. $\sin x\sin y>0$
49sin²(x+y) = VT² ≤ (9+15+25)(sin²x+sinxsiny+sin²y)
$\Rightarrow$ sin²x+sin²y+sinxsiny≥ (sinxcosy+sinycosx)²
$\Leftrightarrow$ sin²x(1-cos²y) + sin²y(1-cos²x) + sinxsiny(1-2cosxcosy) ≥0
$\Leftrightarrow$ 2(sinxsiny)²+ sinxsiny(1-2cosxcosy)≥0
$\Leftrightarrow$ 1-2cosxcosy+2sinxsiny≥0
$\Leftrightarrow$ 1-2cos(x+y)≥0
$\Leftrightarrow$ cos(x+y)≤1/2
Giá trị nhỏ nhất của x+y để cos(x+y)≤1/2 là $\dfrac{π}{3}.$
Dấu = xảy ra khi $x=\arcsin\frac{3\sqrt{3}}{14}, \ y=\arcsin\frac{5\sqrt{3}}{14}.$
Vậy ta có đáp số bài toán là $\min (x+y)=\dfrac{π}{3}.$
Bài toán. Cho các số thực dương $x, y$ thoả mãn
$3\sin x + \sqrt{15\sin x \sin y}+5\sin y= 7\sin(x+y)$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $x+y.$
Dưới là lời giải của Hồ Xuân Đức - fan cứng của fanpage diễn đàn toán học VN.
Lời giải.
Giả thiết: $x > 0, y > 0$. Điều kiện: $\sin x\sin y≥0$.
TH1. $\sin x\sin y=0$.
+Với $x=k \pi, k\in \mathbb{N*}$ thì $5\sin y=\pm 7\sin y \Rightarrow \sin y=0\Rightarrow y=m\pi, m\in \mathbb{N*}$
$\Rightarrow x+y=(m+k)\pi≥2\pi.$
+Tương tự với $y=k\pi$, ta cũng có $x+y≥2\pi.$
TH2. $\sin x\sin y>0$
49sin²(x+y) = VT² ≤ (9+15+25)(sin²x+sinxsiny+sin²y)
$\Rightarrow$ sin²x+sin²y+sinxsiny≥ (sinxcosy+sinycosx)²
$\Leftrightarrow$ sin²x(1-cos²y) + sin²y(1-cos²x) + sinxsiny(1-2cosxcosy) ≥0
$\Leftrightarrow$ 2(sinxsiny)²+ sinxsiny(1-2cosxcosy)≥0
$\Leftrightarrow$ 1-2cosxcosy+2sinxsiny≥0
$\Leftrightarrow$ 1-2cos(x+y)≥0
$\Leftrightarrow$ cos(x+y)≤1/2
Giá trị nhỏ nhất của x+y để cos(x+y)≤1/2 là $\dfrac{π}{3}.$
Dấu = xảy ra khi $x=\arcsin\frac{3\sqrt{3}}{14}, \ y=\arcsin\frac{5\sqrt{3}}{14}.$
Vậy ta có đáp số bài toán là $\min (x+y)=\dfrac{π}{3}.$
Theo FB MathVn. Người đăng: MiR Math.