Bài này sẽ đăng một ứng dụng của tích phân không được trình bày ở sách giáo khoa toán 12: Ứng dụng tích phân để tính độ dài đường cong. Giả ...
Bài này sẽ đăng một ứng dụng của tích phân không được trình bày ở sách giáo khoa toán 12: Ứng dụng tích phân để tính độ dài đường cong.
Giả sử ta muốn tính độ dài đường cong có phương trình $y=f(x)$ từ điểm $A$ tới điểm $B$ (có thể gọi là: độ dài một đoạn của đường cong). Ta có định lí sau:
ĐỊNH LÍ. Cho hàm số $f$ có đạo hàm $f' \ \ \ $ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Khi đó độ dài đường cong $y=f(x)$ từ điểm $A$ đến điểm $B$ là:
$$T=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} \ \ \text{d}x. \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$
trong đó $a, b \ (a< b) \ $ tương ứng là hoành độ các điểm $A$ và $B$ (xem hình vẽ).
Ví dụ. Tính độ dài đường cong $$y=\frac{4\sqrt{2}}{3}x^{3/2}-1$$
từ điểm $A$ có hoành độ $a=0$ đến điểm $B$ có hoành độ $b=2$.
Lời giải
Ta có: $$y'=2\sqrt{2}.x^{1/2}$$
liên tục trên đoạn $[0;2]$ và $(y')^2=8x.$
Từ đó thay vào công thức ở định lí trên, ta được độ dài cần tính là:
Từ đó thay vào công thức ở định lí trên, ta được độ dài cần tính là:
$T= \displaystyle \int_0^2 \sqrt{1+8x} \ \ \text{d}x=\frac{17\sqrt{17}-1}{12} \approx 5,7577. \ \ \ $
Người đăng: MiR Math.