Chỉnh hợp là gì? Khái niệm chỉnh hợp Cho tập hợp $A$ có $n$ phần tử và số tự nhiên $k$ ($1\le k \le n$). Khi lấy $k$ phần tử của $A$ và sắp ...
Chỉnh hợp là gì?
Khái niệm chỉnh hợp
Cho tập hợp $A$ có $n$ phần tử và số tự nhiên $k$ ($1\le k \le n$). Khi lấy $k$ phần tử của $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự thì ta được một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử của $A$ (gọi tắt là một chỉnh hợp chập $k$ của $A$).
Công thức tính số các chỉnh hợp
Số các chỉnh hợp chập $k$ của một tập hợp có $n$ phần tử, kí hiệu là $A_n^k$, là
$$A_n^k=n(n-1)...(n-k+1).$$
Chứng minh
Với kí hiệu giai thừa, ta có thể viết lại
$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.$$
Nguồn gốc kí hiệu
Trong các sách Toán hiện hành ở Việt Nam, chỉnh hợp được ký hiệu bằng chữ $A$, viết tắt của "arrangement".
Trong các sách tiếng Anh người ta dùng chữ $P$ để kí hiệu chỉnh hợp dù $P$ là viết tắt của "permutation" (nghĩa là hoán vị). Tiếng Anh vẫn sử dụng cụm từ "$k$-permutations of $n$" để chỉ "chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử".
Ví dụ về số các chỉnh hợp
a) $A_5^2=5.4=20$
b) $A_9^4=9.8.7.6=3024$
Liên hệ giữa chỉnh hợp và tổ hợp
$$A_n^k=k!C_n^k.$$
Hoán vị của n phần tử
Hoán vị là một trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp. Khi $k=n$ thì một chỉnh hợp chập $n$ của $n$ phần tử là một hoán vị của $n$ phần tử.
Như vậy ta có thể định nghĩa trực tiếp hoán vị như sau:
Định nghĩa hoán vị
Cho tập hợp $A$ có $n$ phần tử. Mỗi cách sắp xếp $n$ phần tử của $A$ theo một thứ tự được gọi là một hoán vị các phần tử của tập $A$ (gọi tắt là một hoán vị của $A$).
Công thức tính số các hoán vị
Số các hoán vị của tập hợp có $n$ phần tử được kí hiệu là $P_n$.
Ta có $$P_n=n.(n-1)...2.1\\=n!=A_n^n.$$
Ví dụ về số các hoán vị
a) $P_4=4.3.2.1=24$
SHARE:
