Đề thi chọn đội tuyển quốc gia Việt Nam dự thi Olympic Toán quốc tế (IMO) năm 2023. Thời gian làm bài trên mỗi ngày thi là 270 phút (tổng th...
Đề thi chọn đội tuyển quốc gia Việt Nam dự thi Olympic Toán quốc tế (IMO) năm 2023. Thời gian làm bài trên mỗi ngày thi là 270 phút (tổng thời gian của kì thi - gồm 2 ngày - là 9 tiếng đồng hồ).
Ngày thi thứ nhất (13/4/2023)
Bài 1. Cho hai lớp học, lớp $A$ có $m$ học sinh và lớp $B$ có $n$ học sinh $(m,\ n>1)$. Học sinh của hai lớp ngồi quanh một bàn tròn và mỗi em học sinh $X$ được cô giáo phát kẹo bằng với số bạn ngồi liên tiếp kề bên trái $X$ và cùng lớp với $X$ (nếu $X$ không có những bạn như vậy thì $X$ không có kẹo). Những người có cùng số kẹo được cô giáo phân chia vào cùng một nhóm.
a) Hỏi số người đông nhất của một nhóm có thể là bao nhiêu?
b) Nếu không xét nhóm mà học sinh không có kẹo thì số người đông nhất của một nhóm có thể là bao nhiêu?
Bài 2. Xét các hàm số sau đây trên tập số thực khác $0$:
\[P(x)=\left(x^2-1\right)^{2023},\quad Q(x)=(2x+1)^{14},\quad R(x)=\left(2x+1+\frac{2}{x}\right)^{14}.\]
Giả sử ban đầu có một danh sách gồm đúng hai hàm trong các hàm đã cho. Mỗi thao tác được phép cộng, trừ, nhân các hàm trong danh sách đó lại với nhau (hoặc lấy lũy thừa với số mũ nguyên dương một hàm trong đó). Ta cũng có thể cộng, trừ, nhân một hàm với một số thực tùy ý để tạo ra hàm mới và đưa vào danh sách. Quá trình trên có thể thực hiện nhiều lần. Chứng minh rằng từ danh sách ban đầu là hai hàm bất kì trong ba hàm đã cho, ta không thể thu được hàm còn lại.
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $BE,\ CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau ở trực tâm $H$ và $M$ là trung điểm $AH$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $EF$. Đường thẳng không đi qua $A$ và song song với $BC$ cắt cung nhỏ $AB,\ AC$ lần lượt tại các điểm $P,\ Q$. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $E$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CQE$ và tiếp tuyến tại $F$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPF$ cắt nhau trên đường thẳng $MK$.
Ngày thi thứ hai (14/4/2023)
Bài 4. Cho hai số nguyên dương $a,\ b$ nguyên tố cùng nhau với $b$ lẻ và $a>2$. Xét dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_0=2,\ x_1=a$ và $x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n$ với mọi $n$ nguyên dương. Chứng minh rằng
a) Nếu $a$ chẵn thì không tồn tại các số nguyên dương $m,\ n,\ p$ để $\dfrac{x_m}{x_nx_p}$ là số nguyên.
b) Nếu $a$ lẻ thì không tồn tại các số nguyên dương $m,\ n,\ p$ sao cho $mnp$ chẵn và $\dfrac{x_m}{x_nx_p}$ là số chính phương.
Bài 5. Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $\widehat{B}<\widehat{A}<90^{\circ}$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ và $S$ là giao điểm của $AD$ với $BC$. Xét $R$ là một điểm thay đổi nằm bên trong tam giác $SAB$ sao cho $\widehat{ASR}=\widehat{BSR}$. Trên các đường thẳng $AR,\ BR$ lần lượt lấy các điểm $E,\ F$ sao cho $BE$ và $AF$ cùng song song với $RS$. Giả sử $EF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$ tại các điểm $H,\ K$. Trên đoạn $AB$, lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\widehat{AHM}=\widehat{BHI}$ và $\widehat{BKN}=\widehat{AKI}$.
a) Chứng minh rằng tâm $J$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $SMN$ thuộc một đường thẳng cố định.
b) Trên $BE,\ AF$ lần lượt lấy các điểm $P,\ Q$ sao cho $CP$ song song với $SE$ và $DQ$ song song với $SF$. Các đường thẳng $SE,\ SF$ cắt lại đường tròn $(O)$ theo thứ tự tại $U,\ V$. Gọi $G$ là giao điểm của $AU$ với $BV$. Chứng minh rằng đường trung tuyến đỉnh $G$ của tam giác $GPQ$ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 6. Cho số nguyên $n\ge 3$ và tập hợp $A=\{1,2,\dots,n\}$. Xác định số $k$ lớn nhất sao cho với mỗi bộ $k$ tập con có $3$ phần tử của $A$, luôn tô màu được mỗi phần tử của $A$ bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ (mỗi phần tử một màu) để không có tập con nào trong $k$ tập con trên có ba phần tử cùng màu.
Ngày thi thứ nhất (13/4/2023)
Bài 1. Cho hai lớp học, lớp $A$ có $m$ học sinh và lớp $B$ có $n$ học sinh $(m,\ n>1)$. Học sinh của hai lớp ngồi quanh một bàn tròn và mỗi em học sinh $X$ được cô giáo phát kẹo bằng với số bạn ngồi liên tiếp kề bên trái $X$ và cùng lớp với $X$ (nếu $X$ không có những bạn như vậy thì $X$ không có kẹo). Những người có cùng số kẹo được cô giáo phân chia vào cùng một nhóm.
a) Hỏi số người đông nhất của một nhóm có thể là bao nhiêu?
b) Nếu không xét nhóm mà học sinh không có kẹo thì số người đông nhất của một nhóm có thể là bao nhiêu?
Bài 2. Xét các hàm số sau đây trên tập số thực khác $0$:
\[P(x)=\left(x^2-1\right)^{2023},\quad Q(x)=(2x+1)^{14},\quad R(x)=\left(2x+1+\frac{2}{x}\right)^{14}.\]
Giả sử ban đầu có một danh sách gồm đúng hai hàm trong các hàm đã cho. Mỗi thao tác được phép cộng, trừ, nhân các hàm trong danh sách đó lại với nhau (hoặc lấy lũy thừa với số mũ nguyên dương một hàm trong đó). Ta cũng có thể cộng, trừ, nhân một hàm với một số thực tùy ý để tạo ra hàm mới và đưa vào danh sách. Quá trình trên có thể thực hiện nhiều lần. Chứng minh rằng từ danh sách ban đầu là hai hàm bất kì trong ba hàm đã cho, ta không thể thu được hàm còn lại.
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $BE,\ CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau ở trực tâm $H$ và $M$ là trung điểm $AH$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $EF$. Đường thẳng không đi qua $A$ và song song với $BC$ cắt cung nhỏ $AB,\ AC$ lần lượt tại các điểm $P,\ Q$. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $E$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CQE$ và tiếp tuyến tại $F$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPF$ cắt nhau trên đường thẳng $MK$.
Ngày thi thứ hai (14/4/2023)
Bài 4. Cho hai số nguyên dương $a,\ b$ nguyên tố cùng nhau với $b$ lẻ và $a>2$. Xét dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_0=2,\ x_1=a$ và $x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n$ với mọi $n$ nguyên dương. Chứng minh rằng
a) Nếu $a$ chẵn thì không tồn tại các số nguyên dương $m,\ n,\ p$ để $\dfrac{x_m}{x_nx_p}$ là số nguyên.
b) Nếu $a$ lẻ thì không tồn tại các số nguyên dương $m,\ n,\ p$ sao cho $mnp$ chẵn và $\dfrac{x_m}{x_nx_p}$ là số chính phương.
Bài 5. Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $\widehat{B}<\widehat{A}<90^{\circ}$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ và $S$ là giao điểm của $AD$ với $BC$. Xét $R$ là một điểm thay đổi nằm bên trong tam giác $SAB$ sao cho $\widehat{ASR}=\widehat{BSR}$. Trên các đường thẳng $AR,\ BR$ lần lượt lấy các điểm $E,\ F$ sao cho $BE$ và $AF$ cùng song song với $RS$. Giả sử $EF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$ tại các điểm $H,\ K$. Trên đoạn $AB$, lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\widehat{AHM}=\widehat{BHI}$ và $\widehat{BKN}=\widehat{AKI}$.
a) Chứng minh rằng tâm $J$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $SMN$ thuộc một đường thẳng cố định.
b) Trên $BE,\ AF$ lần lượt lấy các điểm $P,\ Q$ sao cho $CP$ song song với $SE$ và $DQ$ song song với $SF$. Các đường thẳng $SE,\ SF$ cắt lại đường tròn $(O)$ theo thứ tự tại $U,\ V$. Gọi $G$ là giao điểm của $AU$ với $BV$. Chứng minh rằng đường trung tuyến đỉnh $G$ của tam giác $GPQ$ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 6. Cho số nguyên $n\ge 3$ và tập hợp $A=\{1,2,\dots,n\}$. Xác định số $k$ lớn nhất sao cho với mỗi bộ $k$ tập con có $3$ phần tử của $A$, luôn tô màu được mỗi phần tử của $A$ bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ (mỗi phần tử một màu) để không có tập con nào trong $k$ tập con trên có ba phần tử cùng màu.
Theo Lê Phúc Lữ. Người đăng: Mr. Math.
