Công Thức Tính Xác Suất Có Điều Kiện Và Ví Dụ

Xác suất có điều kiện Ta có định nghĩa sau: Cho hai biến cố $A$ và $B$. Xác suất của biến cố $A$, tính trong điều kiện biết rằng biến cố $...

Xác suất có điều kiện

Ta có định nghĩa sau:
Cho hai biến cố $A$ và $B$. Xác suất của biến cố $A$, tính trong điều kiện biết rằng biến cố $B$ đã xảy ra, được gọi là xác suất của $A$ với điều kiện $B$ và kí hiệu là $P(A | B).$

Công thức tính xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện có thể được tính theo công thức sau:
Cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kì, với $P(B) > 0$. Khi đó $$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}.$$ Đặc biệt: Từ định nghĩa xác suất có điều kiện và định nghĩa về tính độc lập của hai biến cố, nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì $P(A | B) = P(A)$ và $P(B | A) = P(B).$

Ví dụ về xác suất có điều kiện

Ví dụ.

Một hộp có $20$ viên bi trắng và $10$ viên bi đen, các viên bị có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một bi trong hộp.
Gọi $A$ là biến cố" “An lấy được viên bi trắng", $B$ là biến cố: "Bình lấy được viên bi trắng". Tính $P(A | B)$ bằng định nghĩa và bằng công thức tính $P(A | B)$ ở trên.

Lời giải.

Cách 1: Bằng định nghĩa
Nếu $B$ xảy ra tức là Bình lấy được viên bi trắng. Khi đó, trong hộp còn lại 29 viên bi với 19 viên bi trắng và 10 viên bi đen.
Vậy $P(A | B) =\dfrac{19}{29}.$
Cách 2: Bằng công thức
Bình có $30$ cách chọn, An có $29$ cách chọn một viên bi trong hộp. Do đó $n(\Omega)=30.29$.
Bình có $20$ cách chọn một viên bi trắng, An có $29$ cách chọn từ $29$ viên bi còn lại.
Do đó $n(B)=20. 29$ và $P(B)=\dfrac{n(B)}{n(\Omega)}$.
Bình có $20$ cách chọn một viên bi trắng, An có $19$ cách chọn một viên bi trắng trong $19$ viên bi trắng còn lại.
Do đó $n(AB)=20.19$ và $P(AB) =\dfrac{n(AB)}{n(\Omega)}$.
Vậy $P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}=\dfrac{n(AB)}{n(B)}$ $=\dfrac{20.19}{20.29}=\dfrac{19}{29}.$