3. Minh hoạ khái niệm toán học nhờ những sự kiện tương tự trong thực tiễn. - Khái niệm không gian (mêtric, tôpô) khả ly: là một trong những ...
3. Minh hoạ khái niệm toán học nhờ những sự kiện tương tự trong thực tiễn.
- Khái niệm không gian (mêtric, tôpô) khả ly: là một trong những khái niệm quan trọng của giải tích. Một không gian khả ly nếu trong nó tồn tại một tập hữu hạn hay đếm được, trù mật khắp nơi. Tại sao người ta coi trọng những không gian khả ly? Một trong những lý do là vì chúng dễ xử lý và kiểm soát. Chỉ cần thu thập, kiểm soát những thông tin trên một tập khá nhỏ (tập hữu hạn hoặc đếm được các phần tử), trù mật trong không gian đã cho thì sẽ kiểm soát thu thập được thông tin trên toàn thể không gian. Có thể thấy ngay một ví dụ về một tập hợp trù mật ấy, chẳng hạn trong mỗi quốc gia, để nắm tình hình an ninh, Bộ Công an bố trí lực lượng công an khu vực như là một tập hợp trù mật trong một quốc gia vậy. Rõ ràng tình hình trật tự, trị an trong toàn quốc được phản ảnh bởi lực lượng công an khu vực này. Trong toán học, yêu cầu tập trù mật là "không quá đếm được", ngoài ý nghĩa tiết kiệm, còn có ý nghĩa hết sức quan trọng vì có thể lý luận, chứng minh hay xây dựng các đối tượng toán học liên quan bằng phép quy nạp hữu hạn được.
- Xa và gần: Phép toán lấy giới hạn là đặc trưng của ngành giải tích. Nói đến khái niệm giới hạn tức là phải biết cách diễn tả khái niệm “gần, xa” và đo đạc được độ “gần, xa” ấy. Cách tự nhiên là dùng khái niệm khoảng cách, mô phỏng khoảng cách thông thường, bằng cách giữ lại một số tính chất tiêu biểu để có thể nói chuyện xa chuyện gần giữa các đối tượng khá tổng quát. Tuy nhiên, có thể diễn tả sự gần hay xa nhau cách khác, chẳng hạn ta hãy khoanh vùng các đối tượng ấy bởi những “lân cận”. Ðiều này trong cuộc sống cũng thường gặp. Ví dụ, thầy X hỏi: “ Trò A và trò B ở có gần nhau hay không?” Trò A trả lời: Dạ, em ở cách B khoảng 100m. Trò B thì nói: Em ở cùng một xóm với trò A. Hai trò cũng nói lên một ý: Nhà của chúng khá gần nhau. Tuy nhiên mỗi trò diễn tả một cách. Trò A dùng ngôn ngữ “mêtric = khoảng cách”, trò B nói theo giọng điệu “tô pô”. Ta biết về mặt toán học, khái niệm tôpô tổng quát hơn “mêtric”.
- Nhưng tô pô là gì? Nói một cách nôm na, tô pô là môn học nghiên cứu những cái không thay đổi (bất biến) qua các phép biến dạng liên tục. Bạn hãy lấy một mảnh cao su, trên đó vẽ các đường thẳng, đường cong, hình tròn, hình chữ nhật, hình vuông, vẽ các điểm lung tung trên miếng cao su này. Sau đó bạn kéo dãn hay co lại, vặn vẹo miếng cao su (nhưng nhớ đừng làm rách vì chỉ được biến dạng liên tục) và xem thử cái gì bị thay đổi, cái gì không? Rõ ràng tròn, vuông, thẳng, cong trên miếng cao su không còn giữ nguyên qua bàn tay của bạn. Chỉ thấy những điểm nằm trong hình tròn chẳng hạn, dù bạn có kéo dãn miếng cao su kiểu gì thì các điểm này vẫn nằm trong cái đường cong kín tạo ra bởi đường tròn ban đầu ...
- Khái niệm hai mêtric tương đương tôpô. Ta thấy rằng mọi mêtric đã cho trên một tập luôn luôn tương đương với một mêtric bị chặn. Thật vậy, nếu d(x,y) là một mêtric cho trên X thì d*(x,y) =min (d(x,y), 1) là một mêtric bị chặn, tương đương với d(x,y). Việc chứng minh chặt chẽ theo logic toán học thì không có điều gì cần bàn cãi, tuy nhiên về mặt trực giác, người học có điều gì chưa yên tâm. Chúng ta có thể giải thích thêm là việc khảo sát giới hạn có ý nghĩa nếu các đối tượng ấy đủ gần với nhau, còn đã xa với một khoảng cách nào đó rồi thì xa thêm cũng chẳng quan trọng gì. Một ví dụ thực tế để minh họa như sau: Thời trước, việc tiếp xúc, liên lạc cá nhân trong nước với nước ngoài có những mức độ khó khăn khác nhau. Giả sử d(x,y) là con số biểu thị mức độ liên lạc tình cảm giữa anh x và chi y. Khi họ cùng ở trong nước (xem như là khá gần nhau) thì d(x,y) và d*(x,y) có thể xem như nhau, nhưng khi x ở Việt Nam, còn y ra nước ngoài, dù gần như ở Lào hay xa ở Mỹ thì lúc ấy giữa x và y cũng xem như là xa "vời vợi". Do vậy, ra khỏi một phạm vi nào đó, d(x,y) không đóng vai trò quan trọng nhiều trong việc khảo sát sự gần nhau vì đã xa thì đằng nào cũng xa rồi.
4. Cố tình lạm dụng từ ngữ, thuật ngữ.
Ta nhận thấy các khái niệm và ngôn ngữ toán học được xây dựng, trình bày rất rõ ràng, chính xác. Cho dù chuyển dịch sang bất cứ tiếng nói của nước nào, người ta không mắc phải những nhầm lẫn, mơ hồ. Việc đánh đồng ngôn ngữ toán học với ngôn ngữ bình thường nói chung là không nên, chẳng hạn khái niệm “đếm được” trong toán và ngoài toán thì khác nhau. Tuy nhiên trong một số ngữ cảnh nhất định, việc lạm dụng ngôn ngữ đời thường đưa vào toán hoặc từ toán ra đời thường có thể hợp lý và giúp người học thay đổi không khí học tập.
- Đưa ngôn ngữ đời thường vào toán: Khi nghiên cứu một cấu trúc toán học nào đó, thông thường phải lo việc “nội trị” trước rồi mới làm công tác “ngoại giao”. Chúng ta hãy nhớ lại đôi chút về cấu trúc toán học sơ khai, đơn giản nhất là tập hợp. Sau khi xử lý các vấn đề liên quan đến phần tử một tập và các phép toán về tập hợp trên các họ hàng gần gũi với nó, ta phái sứ bộ đi nơi khác để thăm dò, đó là thiết lập khái niệm ánh xạ từ tập này đến tập kia. Tương tự như vậy, khi định nghĩa nhóm, ta lập các đồng cấu nhóm, định nghĩa không gian mêtric ta xét đến ánh xạ liên tục..... Nói chung các mối quan hệ ngoại giao này phải đảm bảo được nghi thức và thông hiểu nhau, chẳng hạn phần tử trung tính, phần tử đối trong nhóm này phải ứng với phần tử trung tính, phần tử đối của nhóm kia; dãy trong không gian mêtric này hội tụ thì cũng chuyển thành dãy hội tụ trong không gian kia...
Để có được điều này, các ánh xạ phải “bảo toàn” cấu trúc của đối tượng toán học đang xét. Bây giờ trở lại với ánh xạ tuyến tính liên tục. Nếu sinh viên nắm được kỹ tư tưởng thì ngay tên gọi đã diễn ra đầy đủ nội dung:
· Ánh xạ: Quan hệ thông thường giữa hai tập.
· Tuyến tính: “Bảo toàn” cấu trúc không gian vectơ.
· Liên tục: “Bảo toàn” cấu trúc không gian mêtric.
Vậy ánh xạ tuyến tính liên tục A từ không gian định chuẩn X đến không gian định chuẩn Y là ánh xạ thoả mãn 3 điều nói trên.
Trong thực tế, việc này không khác với việc 2 quốc gia thiết lập quan hệ ngoại giao với nhau, những đối tác trong từng lãnh vực sẽ làm việc với nhau như giáo dục, kinh tế, quốc phòng, thương mại,…
- Thông thường mỗi toán thể khi xây dựng thì có khái niệm toán thể con đi kèm, ví dụ như nhóm thì có nhóm con, không gian định chuẩn thì có không gian định chuẩn con,v.v… Chúng xem như là những vật thể sinh sản vô tính. Tuy vậy, cũng có những toán thể được tạo ra từ những cặp tóan thể khác, chẳng hạn "nhóm các đồng cấu từ nhóm X vào nhóm Y", không gian L(X,Y) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian X vào không gian Y, v.v…. Minh họa: Để bắt đầu một định lý của Giải tích hàm: "Nếu Y là một không gian Banach, X là không gian định chuẩn tùy ý thì L(X,Y) là một không gian Banach", ta có thể dẫn nhập như sau: Từ 2 không gian định chuẩn bố là X, mẹ là Y sinh ra không gian L(X,Y), ta xem thử đứa con này có thừa hưởng gen di truyền nào của bố, mẹ không? Với phát biểu của định lý trên, ta thấy "đức tính Banach" được di truyền từ mẹ sang con, tính di truyền thể hiện rõ nét trong phần chứng minh định lý. Có lẽ chỉ cần dẫn nhập như vậy vừa giúp cho sinh viên đỡ chán vừa giúp họ nhớ lâu, đặc biệt có thể vận dụng "tính di truyền" này khi chứng minh định lý ấy.
- Đưa ngôn ngữ toán vào đời thường: Thực hiện nghịch đảo hoặc lấy liên hiệp của tích hai ánh xạ, toán tử được đưa vào trong cuộc sống như là làm ngược lại một quy trình nào đó. Từ công thức (gof)-1 = f -1og-1 hay (BoA)* = A*oB*, ta có thể minh họa chúng bằng những hoạt động quen thuộc, chẳng hạn như gof là động tác mang tất f rồi mang giày g để đi làm nhưng khi về nhà thực hiện cởi giày vớ thì làm theo chiều ngược lại (gof)-1 = f -1og-1 : cởi giày g-1 trước mới cởi tất f-1 ra. Tương tự, muốn ra khỏi nhà thì phải khóa cửa phòng rồi mới khóa cửa ngõ nhưng khi về thì mở của ngõ trước rồi mở của phòng sau.
- Nghịch đảo của tích nhiều ánh xạ (toán tử) thì bằng tích các nghịch đảo các ánh xạ nhưng theo thứ tự ngược lại: (fogohok)-1= k -1 oh -1 g -1 of -1 , chỉ cần minh họa bằng động tác tháo ra và ráp lại súng như khi học quân sự thì sinh viên sẽ hiểu và nhớ ngay.
- Những cách nói “túi tiền của mình là tập rỗng”, “chuyện ấy chỉ là ép-si-lon, không đáng để ý”, “tình cảm của bọn chúng phức tạp lắm, như một phương trình vô nghiệm,…” có thể được sinh viên dùng nhưng ít mang nội hàm toán học.
...(còn tiếp)...
- Khái niệm không gian (mêtric, tôpô) khả ly: là một trong những khái niệm quan trọng của giải tích. Một không gian khả ly nếu trong nó tồn tại một tập hữu hạn hay đếm được, trù mật khắp nơi. Tại sao người ta coi trọng những không gian khả ly? Một trong những lý do là vì chúng dễ xử lý và kiểm soát. Chỉ cần thu thập, kiểm soát những thông tin trên một tập khá nhỏ (tập hữu hạn hoặc đếm được các phần tử), trù mật trong không gian đã cho thì sẽ kiểm soát thu thập được thông tin trên toàn thể không gian. Có thể thấy ngay một ví dụ về một tập hợp trù mật ấy, chẳng hạn trong mỗi quốc gia, để nắm tình hình an ninh, Bộ Công an bố trí lực lượng công an khu vực như là một tập hợp trù mật trong một quốc gia vậy. Rõ ràng tình hình trật tự, trị an trong toàn quốc được phản ảnh bởi lực lượng công an khu vực này. Trong toán học, yêu cầu tập trù mật là "không quá đếm được", ngoài ý nghĩa tiết kiệm, còn có ý nghĩa hết sức quan trọng vì có thể lý luận, chứng minh hay xây dựng các đối tượng toán học liên quan bằng phép quy nạp hữu hạn được.
- Xa và gần: Phép toán lấy giới hạn là đặc trưng của ngành giải tích. Nói đến khái niệm giới hạn tức là phải biết cách diễn tả khái niệm “gần, xa” và đo đạc được độ “gần, xa” ấy. Cách tự nhiên là dùng khái niệm khoảng cách, mô phỏng khoảng cách thông thường, bằng cách giữ lại một số tính chất tiêu biểu để có thể nói chuyện xa chuyện gần giữa các đối tượng khá tổng quát. Tuy nhiên, có thể diễn tả sự gần hay xa nhau cách khác, chẳng hạn ta hãy khoanh vùng các đối tượng ấy bởi những “lân cận”. Ðiều này trong cuộc sống cũng thường gặp. Ví dụ, thầy X hỏi: “ Trò A và trò B ở có gần nhau hay không?” Trò A trả lời: Dạ, em ở cách B khoảng 100m. Trò B thì nói: Em ở cùng một xóm với trò A. Hai trò cũng nói lên một ý: Nhà của chúng khá gần nhau. Tuy nhiên mỗi trò diễn tả một cách. Trò A dùng ngôn ngữ “mêtric = khoảng cách”, trò B nói theo giọng điệu “tô pô”. Ta biết về mặt toán học, khái niệm tôpô tổng quát hơn “mêtric”.
- Nhưng tô pô là gì? Nói một cách nôm na, tô pô là môn học nghiên cứu những cái không thay đổi (bất biến) qua các phép biến dạng liên tục. Bạn hãy lấy một mảnh cao su, trên đó vẽ các đường thẳng, đường cong, hình tròn, hình chữ nhật, hình vuông, vẽ các điểm lung tung trên miếng cao su này. Sau đó bạn kéo dãn hay co lại, vặn vẹo miếng cao su (nhưng nhớ đừng làm rách vì chỉ được biến dạng liên tục) và xem thử cái gì bị thay đổi, cái gì không? Rõ ràng tròn, vuông, thẳng, cong trên miếng cao su không còn giữ nguyên qua bàn tay của bạn. Chỉ thấy những điểm nằm trong hình tròn chẳng hạn, dù bạn có kéo dãn miếng cao su kiểu gì thì các điểm này vẫn nằm trong cái đường cong kín tạo ra bởi đường tròn ban đầu ...
- Khái niệm hai mêtric tương đương tôpô. Ta thấy rằng mọi mêtric đã cho trên một tập luôn luôn tương đương với một mêtric bị chặn. Thật vậy, nếu d(x,y) là một mêtric cho trên X thì d*(x,y) =min (d(x,y), 1) là một mêtric bị chặn, tương đương với d(x,y). Việc chứng minh chặt chẽ theo logic toán học thì không có điều gì cần bàn cãi, tuy nhiên về mặt trực giác, người học có điều gì chưa yên tâm. Chúng ta có thể giải thích thêm là việc khảo sát giới hạn có ý nghĩa nếu các đối tượng ấy đủ gần với nhau, còn đã xa với một khoảng cách nào đó rồi thì xa thêm cũng chẳng quan trọng gì. Một ví dụ thực tế để minh họa như sau: Thời trước, việc tiếp xúc, liên lạc cá nhân trong nước với nước ngoài có những mức độ khó khăn khác nhau. Giả sử d(x,y) là con số biểu thị mức độ liên lạc tình cảm giữa anh x và chi y. Khi họ cùng ở trong nước (xem như là khá gần nhau) thì d(x,y) và d*(x,y) có thể xem như nhau, nhưng khi x ở Việt Nam, còn y ra nước ngoài, dù gần như ở Lào hay xa ở Mỹ thì lúc ấy giữa x và y cũng xem như là xa "vời vợi". Do vậy, ra khỏi một phạm vi nào đó, d(x,y) không đóng vai trò quan trọng nhiều trong việc khảo sát sự gần nhau vì đã xa thì đằng nào cũng xa rồi.
4. Cố tình lạm dụng từ ngữ, thuật ngữ.
Ta nhận thấy các khái niệm và ngôn ngữ toán học được xây dựng, trình bày rất rõ ràng, chính xác. Cho dù chuyển dịch sang bất cứ tiếng nói của nước nào, người ta không mắc phải những nhầm lẫn, mơ hồ. Việc đánh đồng ngôn ngữ toán học với ngôn ngữ bình thường nói chung là không nên, chẳng hạn khái niệm “đếm được” trong toán và ngoài toán thì khác nhau. Tuy nhiên trong một số ngữ cảnh nhất định, việc lạm dụng ngôn ngữ đời thường đưa vào toán hoặc từ toán ra đời thường có thể hợp lý và giúp người học thay đổi không khí học tập.
- Đưa ngôn ngữ đời thường vào toán: Khi nghiên cứu một cấu trúc toán học nào đó, thông thường phải lo việc “nội trị” trước rồi mới làm công tác “ngoại giao”. Chúng ta hãy nhớ lại đôi chút về cấu trúc toán học sơ khai, đơn giản nhất là tập hợp. Sau khi xử lý các vấn đề liên quan đến phần tử một tập và các phép toán về tập hợp trên các họ hàng gần gũi với nó, ta phái sứ bộ đi nơi khác để thăm dò, đó là thiết lập khái niệm ánh xạ từ tập này đến tập kia. Tương tự như vậy, khi định nghĩa nhóm, ta lập các đồng cấu nhóm, định nghĩa không gian mêtric ta xét đến ánh xạ liên tục..... Nói chung các mối quan hệ ngoại giao này phải đảm bảo được nghi thức và thông hiểu nhau, chẳng hạn phần tử trung tính, phần tử đối trong nhóm này phải ứng với phần tử trung tính, phần tử đối của nhóm kia; dãy trong không gian mêtric này hội tụ thì cũng chuyển thành dãy hội tụ trong không gian kia...
Để có được điều này, các ánh xạ phải “bảo toàn” cấu trúc của đối tượng toán học đang xét. Bây giờ trở lại với ánh xạ tuyến tính liên tục. Nếu sinh viên nắm được kỹ tư tưởng thì ngay tên gọi đã diễn ra đầy đủ nội dung:
· Ánh xạ: Quan hệ thông thường giữa hai tập.
· Tuyến tính: “Bảo toàn” cấu trúc không gian vectơ.
· Liên tục: “Bảo toàn” cấu trúc không gian mêtric.
Vậy ánh xạ tuyến tính liên tục A từ không gian định chuẩn X đến không gian định chuẩn Y là ánh xạ thoả mãn 3 điều nói trên.
Trong thực tế, việc này không khác với việc 2 quốc gia thiết lập quan hệ ngoại giao với nhau, những đối tác trong từng lãnh vực sẽ làm việc với nhau như giáo dục, kinh tế, quốc phòng, thương mại,…
- Thông thường mỗi toán thể khi xây dựng thì có khái niệm toán thể con đi kèm, ví dụ như nhóm thì có nhóm con, không gian định chuẩn thì có không gian định chuẩn con,v.v… Chúng xem như là những vật thể sinh sản vô tính. Tuy vậy, cũng có những toán thể được tạo ra từ những cặp tóan thể khác, chẳng hạn "nhóm các đồng cấu từ nhóm X vào nhóm Y", không gian L(X,Y) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian X vào không gian Y, v.v…. Minh họa: Để bắt đầu một định lý của Giải tích hàm: "Nếu Y là một không gian Banach, X là không gian định chuẩn tùy ý thì L(X,Y) là một không gian Banach", ta có thể dẫn nhập như sau: Từ 2 không gian định chuẩn bố là X, mẹ là Y sinh ra không gian L(X,Y), ta xem thử đứa con này có thừa hưởng gen di truyền nào của bố, mẹ không? Với phát biểu của định lý trên, ta thấy "đức tính Banach" được di truyền từ mẹ sang con, tính di truyền thể hiện rõ nét trong phần chứng minh định lý. Có lẽ chỉ cần dẫn nhập như vậy vừa giúp cho sinh viên đỡ chán vừa giúp họ nhớ lâu, đặc biệt có thể vận dụng "tính di truyền" này khi chứng minh định lý ấy.
- Đưa ngôn ngữ toán vào đời thường: Thực hiện nghịch đảo hoặc lấy liên hiệp của tích hai ánh xạ, toán tử được đưa vào trong cuộc sống như là làm ngược lại một quy trình nào đó. Từ công thức (gof)-1 = f -1og-1 hay (BoA)* = A*oB*, ta có thể minh họa chúng bằng những hoạt động quen thuộc, chẳng hạn như gof là động tác mang tất f rồi mang giày g để đi làm nhưng khi về nhà thực hiện cởi giày vớ thì làm theo chiều ngược lại (gof)-1 = f -1og-1 : cởi giày g-1 trước mới cởi tất f-1 ra. Tương tự, muốn ra khỏi nhà thì phải khóa cửa phòng rồi mới khóa cửa ngõ nhưng khi về thì mở của ngõ trước rồi mở của phòng sau.
- Nghịch đảo của tích nhiều ánh xạ (toán tử) thì bằng tích các nghịch đảo các ánh xạ nhưng theo thứ tự ngược lại: (fogohok)-1= k -1 oh -1 g -1 of -1 , chỉ cần minh họa bằng động tác tháo ra và ráp lại súng như khi học quân sự thì sinh viên sẽ hiểu và nhớ ngay.
- Những cách nói “túi tiền của mình là tập rỗng”, “chuyện ấy chỉ là ép-si-lon, không đáng để ý”, “tình cảm của bọn chúng phức tạp lắm, như một phương trình vô nghiệm,…” có thể được sinh viên dùng nhưng ít mang nội hàm toán học.
...(còn tiếp)...
