Sự đặc biệt của hàm số 1/r

Một trong những hàm đặc biệt nhất của toán học trong không gian 3 chiều (không gian mà chúng ta đang sống trong đó) là hàm số , có nghĩa l...

Một trong những hàm đặc biệt nhất của toán học trong không gian 3 chiều (không gian mà chúng ta đang sống trong đó) là hàm số 1/r, có nghĩa là hàm “1 chia cho khoảng cách”. Chữ r ở đây có thể hiểu là “radius”, có nghĩa là bán kính, tính từ một tâm điểm nào đó, hay nói rộng hơn, là khoảng cách giữa hai điểm khác nhau.
Hàm 1/r đặc biệt ở chỗ nào ?
Thứ nhất, nó là hàm thế năng trong định luật vạn vật hấp dẫn của Newton: định luật này nói rằng, hai vật có khối lượng m_1,m_2 và cách nhau một khoảng cách r thì sẽ có lực hút nhau (tác động lên mỗi vật, theo hướng về vật kia) bằng
F = G \frac{m_1m_2}{r^2} trong đó Ghằng số hấp dẫn. Theo lý thuyết cơ học Hamilton, lực này được sinh ra chính bởi một năng lượng, gọi là thế năng, bằng
U = - G \frac{m_1m_2}{r} Như vậy, hàm thế năng trong định luật của Newton (là định luật “khiến cho” trái đất quay quanh mặt trời và mặt trăng quay quanh trái đất) tỷ lệ thuận với các khối lợng của vật, và với hàm 1/r. (Nếu như ta coi mỗi vật đều có khối lượng bằng 1 đơn vị, và hằng số hấp dẫn cũng bằng 1 đơn vị, thì hàm thế năng chính bằng 1/r).
Thế nhưng, tại sao Tạo Hóa lại chọn hàm 1/r là hàm thế năng cho lực hấp dẫn, mà không phải một hàm khác ? Điều này quả là kỳ bí. Nếu giả sử, có một thế giới khác, mà trong đó hàm thế năng này không phải là 1/r, mà là 1/r^{3/2} chẳng hạn, thì “trái đất” trong thế giới đó vẫn cứ quanh quanh mặt trời trong thế giới đó, chứ chẳng phải vì thế mà nó đâm vào mặt trời hay bắn ra ngoài !
Tôi không biết vì sao Tạo Hóa lại chọn như vậy, nhưng thử đưa ra đấy một lý thuyết: hàm 1/r được “chọn” làm hàm thế năng cho lực hấp dẫn, bởi vì nó là một nghệm của phương trình sau:
\Delta u := u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0 trong đó u = 1/r = 1/\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, còn  u_{xx} có nghĩa là đạo hàm hai lần của u theo x.
Toán tử \Delta được gọi là toán tử Laplace, phương trình trên được gọi là phương trình Laplace, còn các nghiệm của nó được gọi là các hàm điều hòa (harmonic).
Chú ý là hàm 1/r có kỳ dị tại điểm 0: nó tiến tới vô cùng khi bán kính r tiến tới 0.  Bởi vậy nó chỉ thỏa mãn phương trình \Delta u = 0 ỏ ngoài điểm 0, còn nếu tính cả điểm 0, thì ta được công thưc chính xác hơn như sau:
\Delta (1/r) = - 4 \pi \delta(x,y,z) trong đó \delta(x,y,z)hàm Dirac. Hàm Dirac không phải một hàm số theo nghĩa thông thường, mà là một hàm số theo nghĩa hàm suy rộng (hay là theo nghĩa phân bố của Laurent Schwartz): hình dung là nó có tích phân (hay độ đo) bằng 1, nhưng chỉ tập trung tại mỗi một điểm là điểm 0, và bằng 0 tại mọi điểm khác. Vì tính chất này, nên hàm 1/r, hay nói chính xác hơn, là hàm 1 / (4\pi r),  được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace trong không gian 3 chiều.
Hình dung là ta có một nguồn nhiệt (heat source) duy nhất tại điểm 0 (trong một không gian vô hạn, thuần nhất, bất động) với “cường độ” bằng 4\pi, và giả sử nhiệt độ tại tất cả các điểm khác đã ổn định không tăng lên thêm mà cũng không giảm đi . Khi đó nhiệt độ tại mỗi điểm chính bằng 1/r, trong đó r là khoảng cách từ nguồn nhiệt. Điều đó là bởi vì, phương trình truyền nhiệt (đã chẩn hóa) chính là phương trình
u_t = \Delta u trong đó u hàm nhiệt đột là biến thời gian. Nếu ta coi là nhiệt độ không đổi theo thời gian (trạng thái “steady”) thì ta được phương trình Laplace.
Để giải phương trình Laplace tổng quát hơn (không thuần nhất):
\Delta u = f trong đó f là một hàm bất kỳ trong không gian, ta chỉ cần lấy các nghiệm cơ bản của nó (mỗi nghiệm một cho điểm trong không gian được tính làm điểm nguồn), nhân với hàm f rồi lấy tích phân (trên không gian các điểm nguồn, tức là cũng chính là không gian {\mathbb R}^3 của chúng ta):
u(\bold{x}) = - \frac{1}{4 \pi} \int_{{\mathbb R}^3} \frac{ f 
(\bold{y} )}{| \bold{y} - \bold{x}| } d\bold{y} Công thức trên cũng là công thức cho phép chúng ta tính áp suất của một chất lỏng “incompressible” khi biết trờng vận tốc của nó và lực bên ngoài tác động lên nó (để đơn giản, ta giả sử là chất lỏng có thể tích vô hạn). Để tính áp suất, ta có thể dùng phương trình Navier-Stokes incompressible:
\partial v / \partial t + v. \nabla v = - \nabla p + \Delta v + X trong đó v là trường vận tốc thỏa mãn div(v) = 0, X= (X_1,X_2,X_3) là lực tác động từ bên ngoài, và p là  áp  suất. Lấy divergence của phương trình Navier-Stokes phía trên, ta được phương trình Laplace cho p:
\Delta p = f := div (X - v. \nabla v ) và từ đó suy ra p theo công thức phía trên.
Vì các lý do tương tự như trên, mà chúng ta thấy hàm 1/r trong rất nhiều công thức toán lý.
Quay trở lại chuyện lực hấp dẫn. Nếu ta hình hung “trường hấp dẫn” cũng tương tự như là “trường nhiệt độ”, và các vật thể sinh ra các trường hấp dẫn tương tự như là các nguồn nhiệt sinh ra các trường nhiệt độ, với tính chất “điều hòa”, thì điều này có thể lý giải tại sao hàm thế năng hấp dẫn phải là hàm 1/r ?
Các nhà vật lý hiện tại vẫn đang đau đầu về chuyện làm sao kết hợp lực hấp dẫn (hay thế năng hấp dẫn) vào cùng với các lực khác (điện từ, mạnh, yếu …) thành chung một “lý thuyết thống nhất”. Không biết điều này có liên quan gì đến sự đặc biệt của  hàm 1/r không ?
MathVn.Com (Theo zung.zetamu.com)

COMMENTS

Tên

6 môn thi Tốt nghiệp,20,Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,6,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,48,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,23,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,68,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,3,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,230,Công thức Toán,33,Cười nghiêng ngả,27,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học trực tuyến,1,Dựng hình,5,Đạo hàm,3,Đề cương ôn tập,27,Đề kiểm tra 1 tiết,18,Đề thi - đáp án,539,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,133,Đề thi học kì,71,Đề thi học sinh giỏi,55,Đề thi THỬ Đại học,216,Đề thi Tốt nghiệp,37,Đề tuyển sinh lớp 10,42,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,68,Đọc báo giúp bạn,13,Giải bài tập SGK,8,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,21,Giải tích,12,Giải trí Toán học,71,Giáo án điện tử,10,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,15,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,99,Giáo trình - Sách,72,Giới hạn,3,GS Hoàng Tụy,3,GSP,6,Gương sáng,17,Hằng số Toán học,12,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,57,Hình học phẳng,24,Khái niệm Toán học,12,Khảo sát hàm số,20,Kí hiệu Toán học,6,LaTex,10,Lịch sử Toán học,54,Linh tinh,9,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,214,Lượng giác,20,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,9,MTBT Casio,18,Mũ và Logarit,19,Ngô Bảo Châu,43,Nhiều cách giải,27,Những câu chuyện về Toán,9,Olympiad,54,Perelman,7,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,3,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,3,Sách giáo viên,12,Sai lầm ở đâu?,10,Sáng kiến kinh nghiệm,6,Số phức,16,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,20,TestPro Font,1,Thiên tài,42,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,15,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,38,Toán 10,63,Toán 11,77,Toán 12,138,Toán 9,17,Toán Cao cấp,23,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,38,Toán học Việt Nam,18,Trắc nghiệm Toán,100,Tuyển sinh,127,Tuyển sinh lớp 6,1,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,23,Vẻ đẹp Toán học,59,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,8,
ltr
item
Toán Học Việt Nam: Sự đặc biệt của hàm số 1/r
Sự đặc biệt của hàm số 1/r
http://s.wordpress.com/latex.php?latex=1%2Fr&bg=ffffff&fg=000000&s=0
Toán Học Việt Nam
https://www.mathvn.com/2010/10/su-ac-biet-cua-ham-so-1r.html
https://www.mathvn.com/
https://www.mathvn.com/
https://www.mathvn.com/2010/10/su-ac-biet-cua-ham-so-1r.html
true
2320749316864824645
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS CONTENT IS PREMIUM Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy