Đề thi IMO 2013 (Olympic Toán học Quốc tế 54)

Đề thi IMO 2013 (Olympic Toán học Quốc tế 54) và lời giải

(www.MATHVN.com) - Đề thi IMO 2013 (Olympic Toán học Quốc tế lần thứ 54). Kỳ thi đang diễn ra tại Colombia. Đoàn Việt Nam có 6 thí sinh tham dự (xem danh sách 6 anh tài).

Dưới đây là đề thi IMO năm 2013 (mỗi ngày 3 bài)

Ngày thứ nhất (23/7/2013 - giờ Colombia)

de thi imo 2013
1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k, n$, tồn tại các số nguyên dương $m_1, m_2, \ldots, m_k$ sao cho
$$ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).$$
2 Trên mặt phẳng cho 2013 điểm màu đỏ và 2014 điểm màu xanh, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Ta chia mặt phẳng bởi các đường thẳng (không đi qua bất kì điểm nào trong các điểm đã cho) thành các vùng, sao cho không có bất kì vùng nào chứa các điểm có hai màu khác nhau. Cần ít nhất là bao nhiêu đường thẳng để luôn thực hiện được cách chia đó?

3 Cho tam giác $ABC$ và $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là các điểm tiếp xúc của các đường tròn bàng tiếp với các cạnh $BC$, $AC$ và $AB$. Chứng minh rằng nếu tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A_1B_1C_1$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ thì $ABC$ là tam giác vuông.

Ngày thứ hai (24/7/2013 - giờ Colombia)

de thi imo 2013 ngay 2

4 Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$, và $W$ là một điểm trên cạnh $BC$, nằm giữa $B$ và $C$. Các điểm $M$ và $N$ theo thứ tự là chân các đường cao hạ từ các đỉnh $B$ và $C$. Gọi $\omega_1$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BWN$, và $X$ là một điểm trên đường tròn sao cho $WX$ là đường kính của $\omega_1$. Tương tự, $\omega_2$ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác $CWM$, và $Y$ là điểm sao cho $WY$ là đường kính của $\omega_2$. Chứng minh rằng ba điểm $X, Y$ và $H$ thẳng hàng.

5 Cho $\mathbb Q_{>0}$ là tập hợp các số hữu tỉ dương, và $f: \mathbb Q_{>0} \to \mathbb R$ là hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) $f(x)f(y) \geq f(xy)$ với mọi $x, y \in \mathbb Q_{>0}$, (ii) $f(x+y) \geq f(x) + f(y)$ với mọi $x, y \in \mathbb Q_{>0}$, (iii) Tồn tại số hữu tỉ $a> 1$ sao cho $f (a) = a$.
Chứng minh rằng $f(x) = x$ với mọi $x \in \mathbb Q_{>0}$.

6 Cho số nguyên $n\geq 3$ và xét $n+1$ điểm nằm cách đều nhau trên một đường tròn. Ta đánh số các điểm này bằng các giá trị $0,1,\dots, n$, không nhất thiết theo thứ tự, và hai điểm khác nhau thì được đánh hai số khác nhau. Hai cách đánh số được xem là như nhau nếu từ cách này có thể nhận được cách kia bằng cách xoay đường tròn. Một cách đánh số được gọi là đẹp nếu, với bất kì bốn số $a<b<c<d$ với $a+d=b+c$, dây cung nối các điểm được đánh số $a$ và $d$ không cắt dây cung nối các điểm được đánh số $b$ và $c$. Gọi $M$ là số cách đánh số đẹp và $N$ là số các cặp số nguyên dương $(x,y)$ được sắp thứ tự sao cho $x+y\leq n$ và $\gcd(x,y)=1$. Chứng minh rằng $M=N+1$.

Nguồn: Art of Problem Solving

COMMENTS

BLOGGER: 6
Loading...
Tên

6 môn thi Tốt nghiệp,20,Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,6,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,48,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,23,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,68,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,3,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,230,Công thức Toán,24,Cười nghiêng ngả,27,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học trực tuyến,1,Dựng hình,5,Đạo hàm,3,Đề cương ôn tập,27,Đề kiểm tra 1 tiết,18,Đề thi - đáp án,532,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,128,Đề thi học kì,71,Đề thi học sinh giỏi,55,Đề thi THỬ Đại học,214,Đề thi Tốt nghiệp,37,Đề tuyển sinh lớp 10,41,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,68,Đọc báo giúp bạn,13,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,21,Giải tích,8,Giải trí Toán học,71,Giáo án điện tử,10,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,15,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,98,Giáo trình - Sách,73,Giới hạn,3,GS Hoàng Tụy,3,GSP,6,Gương sáng,17,Hằng số Toán học,12,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,49,Hình học phẳng,24,Khái niệm Toán học,4,Khảo sát hàm số,16,Kí hiệu Toán học,6,LaTex,10,Lịch sử Toán học,54,Linh tinh,9,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,214,Lượng giác,17,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,Microsoft phỏng vấn,9,MTBT Casio,16,Mũ và Logarit,18,Ngô Bảo Châu,43,Nhiều cách giải,27,Những câu chuyện về Toán,9,Olympiad,54,Perelman,7,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,23,Phân phối chương trình,3,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,3,Sách giáo viên,12,Sai lầm ở đâu?,11,Sáng kiến kinh nghiệm,6,Số phức,16,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,20,TestPro Font,1,Thiên tài,42,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,15,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,35,Toán 10,61,Toán 11,73,Toán 12,112,Toán 9,15,Toán Cao cấp,22,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,37,Toán học Việt Nam,18,Trắc nghiệm Toán,88,Tuyển sinh,127,Tuyển sinh lớp 6,1,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,23,Vẻ đẹp Toán học,59,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,8,
ltr
item
Toán Học Việt Nam: Đề thi IMO 2013 (Olympic Toán học Quốc tế 54)
Đề thi IMO 2013 (Olympic Toán học Quốc tế 54)
Đề thi IMO 2013 (Olympic Toán học Quốc tế 54) và lời giải
http://3.bp.blogspot.com/-Z9bVahSIvz0/Ue9xhJzfdxI/AAAAAAAAEY4/FaqmOl88hVs/s1600/de-thi-imo-2013-day-1.png
http://3.bp.blogspot.com/-Z9bVahSIvz0/Ue9xhJzfdxI/AAAAAAAAEY4/FaqmOl88hVs/s72-c/de-thi-imo-2013-day-1.png
Toán Học Việt Nam
https://www.mathvn.com/2013/07/e-thi-imo-2013-olympic-toan-hoc-quoc-te.html
https://www.mathvn.com/
https://www.mathvn.com/
https://www.mathvn.com/2013/07/e-thi-imo-2013-olympic-toan-hoc-quoc-te.html
true
2320749316864824645
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS CONTENT IS PREMIUM Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy