Công thức lãi suất kép liên tục có liên quan gì đến số e ?

Công thức lãi kép liên tục, công thức tăng trưởng mũ, lãi suất kép liên tục với số e

Trong bài công thức lãi kép, chúng ta đã biết cách tính số tiền thu được sau một khoảng thời gian với lãi suất kép r. Bài viết này sẽ hình thành công thức lãi suất kép liên tục của nhà toán học Jacob Bernoulli.

Ví dụ mở đầu về lãi kép liên tục

Để đơn giản và dễ hiểu, ta xét ví dụ với các số nhỏ và "tròn trịa" sau đây:

Ta mở một tài khoản $A=1$ (đơn vị tiền tệ nào đó, ví dụ: đô-la, đồng,...) ở ngân hàng với lãi suất $r=100\%$ mỗi năm ($r=1$). Nếu lãi suất được trả một lần, thì sau 1 năm tổng số tiền trong tài khoản là
$$B=A+A.r=A(1+r)=2$$
Nhưng nếu lãi suất được tính theo chu kì 6 tháng (lúc này lãi suất $r'=r/2 \ \ \ $) thì số tiền nhận được có nhỉnh hơn một chút:
$$B=A(1+r')^2=2.25 $$
Lãi kép hàng quý ($r'=r/4 \ \ \ $) ta được $B=A(1+r')^4 = 2.4414$.
Lãi kép hàng tháng ($r'=r/12 \ \ \ $) ta được $B=A(1+r')^{12} = 2.613035$.
Ta nhận thấy chu kì càng nhỏ thì số tiền nhận được sau một năm càng tăng. Nhưng liệu càng chia nhỏ chu kì (tới tuần, ngày, giờ, phút, giây,...) thì số tiền nhận được có tăng lên vô hạn? Rất tiếc câu trả lời là KHÔNG!

Jacob Bernoulli để ý thấy dãy này tiến tới một giới hạn với chu kì lãi kép càng ngày nhỏ dần. Lãi kép hàng tuần ta được $2.692597$, trong khi lãi kép hàng ngày ta được $2.714567$, chỉ thêm được một lượng không đáng kể (khoảng $0.02$).

Gọi $n$ là số kì lãi kép, với lãi suất $r'=r/n \ \ \ $ trong mỗi kì, thì số tiền nhận được là:
$$B_n=(1+\frac{1}{n})^n$$
Cho $n$ tiến đến vô cực thì ta được số tiền trong tài khoản là
$$B=\lim B_n = \lim (1+\frac{1}{n})^n =e$$
Như đã biết, dãy này có giới hạn là $e$ (xem trong bài: Số e là gì?); tức giá trị tài khoản sẽ tiến tới $e$ (giá trị gần đúng của $e$ là $2.71828182846$).

Công thức lãi suất kép liên tục


Tính lãi kép liên tục là làm cho kì tính lãi kép cực nhỏ. Gọi $n$ là số kì lãi kép (ví dụ nếu tính lãi theo ngày thì $n=365$, tính theo giờ thì $n=365*24=8760$) thì "chu kì cực nhỏ" có thể xem đạt được bằng cách lấy giới hạn khi $n$ tới vô cực.
Từ ví dụ mở đầu ở trên, ta có thể tổng quát lên: Một tài khoản mà bắt đầu bằng $A$ (đơn vị tiền tệ), lãi suất $r$, thì với cách tính lãi kép liên tục thì sau $t$ năm sẽ nhận được số tiền là
$$B=A.e^{rt}$$
Đó chính là công thức lãi kép liên tục.

Ví dụ: Ta gửi ngân hàng $500$ triệu đồng với lãi suất mỗi năm $r=10\%$, lãi được tính là lãi kép liên tục, thì sau $3$ năm ta nhận được tổng số tiền là
$$B=500.e^{0.1*3}=674.929403788$$
tức ta sẽ nhận được khoảng $675$ triệu đồng sau $3$ năm gửi $500$ triệu trong ngân hàng, với cách tính lãi kép liên tục.

Lưu ý: Ở chương trình toán lớp 12 và thực tế ở các ngân hàng hiện nay thì lãi kép được tính theo kì hữu hạn, nên phải dùng công thức lãi kép.

Tên

Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,6,Bạn đọc viết,226,Bất đẳng thức,51,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,29,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,85,Câu đố Toán học,15,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,6,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,245,Công thức Thể tích,7,Công thức Toán,49,Cười nghiêng ngả,32,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,76,Dạy học trực tuyến,2,Dựng hình,5,Đạo hàm,3,Đề cương ôn tập,29,Đề kiểm tra 1 tiết,24,Đề thi - đáp án,638,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,140,Đề thi học kì,92,Đề thi học sinh giỏi,72,Đề thi THỬ Đại học,260,Đề thi Tốt nghiệp,37,Đề tuyển sinh lớp 10,68,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,130,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,6,File word Toán,12,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,28,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,23,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,1,Giải tích,13,Giải trí Toán học,88,Giáo án điện tử,10,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,15,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,214,Giáo trình - Sách,73,Giới hạn,3,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,82,Hằng số Toán học,13,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,68,Hình học phẳng,39,Học bổng - du học,4,Khái niệm Toán học,13,Khảo sát hàm số,23,Kí hiệu Toán học,7,LaTex,10,Lịch sử Toán học,63,Linh tinh,8,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,221,Lượng giác,27,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,22,Mũ và Logarit,21,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,5,Ngô Bảo Châu,46,Nhiều cách giải,28,Những câu chuyện về Toán,10,Olympiad,138,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,3,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,12,Sách Giấy,5,Sai lầm ở đâu?,10,Sáng kiến kinh nghiệm,6,Số phức,20,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,29,TestPro Font,1,Thiên tài,61,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,39,Toán 10,85,Toán 11,102,Toán 12,157,Toán 9,28,Toán Cao cấp,24,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,70,Toán học Việt Nam,19,Tổ hợp,6,Trắc nghiệm Toán,148,Tuyển dụng,10,Tuyển sinh,193,Tuyển sinh lớp 6,5,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,23,Vẻ đẹp Toán học,65,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,16,
ltr
item
Toán Học Việt Nam: Công thức lãi suất kép liên tục có liên quan gì đến số e ?
Công thức lãi suất kép liên tục có liên quan gì đến số e ?
Công thức lãi kép liên tục, công thức tăng trưởng mũ, lãi suất kép liên tục với số e
https://1.bp.blogspot.com/-BTSQhcK7VSQ/XQ45qs8zQvI/AAAAAAAARIg/UayrrSKEIKA1SGB4jB9MvF5Wx7XS00EwQCLcBGAs/s1600/lai-kep-lien-tuc.png
https://1.bp.blogspot.com/-BTSQhcK7VSQ/XQ45qs8zQvI/AAAAAAAARIg/UayrrSKEIKA1SGB4jB9MvF5Wx7XS00EwQCLcBGAs/s72-c/lai-kep-lien-tuc.png
Toán Học Việt Nam
https://www.mathvn.com/2019/06/cong-thuc-lai-suat-kep-lien-tuc-co-lien.html
https://www.mathvn.com/
https://www.mathvn.com/
https://www.mathvn.com/2019/06/cong-thuc-lai-suat-kep-lien-tuc-co-lien.html
true
2320749316864824645
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS CONTENT IS PREMIUM Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy