Công thức lãi kép liên tục, công thức tăng trưởng mũ, lãi suất kép liên tục với số e
Trong bài công thức lãi kép, chúng ta đã biết cách tính số tiền thu được sau một khoảng thời gian với lãi suất kép r. Bài viết này sẽ hình thành công thức lãi suất kép liên tục của nhà toán học Jacob Bernoulli.
Ta mở một tài khoản $A=1$ (đơn vị tiền tệ nào đó, ví dụ: đô-la, đồng,...) ở ngân hàng với lãi suất $r=100\%$ mỗi năm ($r=1$). Nếu lãi suất được trả một lần, thì sau 1 năm tổng số tiền trong tài khoản là
$$B=A+A.r=A(1+r)=2$$
Nhưng nếu lãi suất được tính theo chu kì 6 tháng (lúc này lãi suất $r'=r/2 \ \ \ $) thì số tiền nhận được có nhỉnh hơn một chút:
$$B=A(1+r')^2=2.25 $$
Lãi kép hàng quý ($r'=r/4 \ \ \ $) ta được $B=A(1+r')^4 = 2.4414$.
Lãi kép hàng tháng ($r'=r/12 \ \ \ $) ta được $B=A(1+r')^{12} = 2.613035$.
Ta nhận thấy chu kì càng nhỏ thì số tiền nhận được sau một năm càng tăng. Nhưng liệu càng chia nhỏ chu kì (tới tuần, ngày, giờ, phút, giây,...) thì số tiền nhận được có tăng lên vô hạn? Rất tiếc câu trả lời là KHÔNG!
Jacob Bernoulli để ý thấy dãy này tiến tới một giới hạn với chu kì lãi kép càng ngày nhỏ dần. Lãi kép hàng tuần ta được $2.692597$, trong khi lãi kép hàng ngày ta được $2.714567$, chỉ thêm được một lượng không đáng kể (khoảng $0.02$).
Gọi $n$ là số kì lãi kép, với lãi suất $r'=r/n \ \ \ $ trong mỗi kì, thì số tiền nhận được là:
$$B_n=(1+\frac{1}{n})^n$$
Cho $n$ tiến đến vô cực thì ta được số tiền trong tài khoản là
$$B=\lim B_n = \lim (1+\frac{1}{n})^n =e$$
Như đã biết, dãy này có giới hạn là $e$ (xem trong bài: Số e là gì?); tức giá trị tài khoản sẽ tiến tới $e$ (giá trị gần đúng của $e$ là $2.71828182846$).
Tính lãi kép liên tục là làm cho kì tính lãi kép cực nhỏ. Gọi $n$ là số kì lãi kép (ví dụ nếu tính lãi theo ngày thì $n=365$, tính theo giờ thì $n=365*24=8760$) thì "chu kì cực nhỏ" có thể xem đạt được bằng cách lấy giới hạn khi $n$ tới vô cực.
Từ ví dụ mở đầu ở trên, ta có thể tổng quát lên: Một tài khoản mà bắt đầu bằng $A$ (đơn vị tiền tệ), lãi suất $r$, thì với cách tính lãi kép liên tục thì sau $t$ năm sẽ nhận được số tiền là
$$B=A.e^{rt}$$
Đó chính là công thức lãi kép liên tục.
Ví dụ: Ta gửi ngân hàng $500$ triệu đồng với lãi suất mỗi năm $r=10\%$, lãi được tính là lãi kép liên tục, thì sau $3$ năm ta nhận được tổng số tiền là
$$B=500.e^{0.1*3}=674.929403788$$
tức ta sẽ nhận được khoảng $675$ triệu đồng sau $3$ năm gửi $500$ triệu trong ngân hàng, với cách tính lãi kép liên tục.
Lưu ý: Ở chương trình toán lớp 12 và thực tế ở các ngân hàng hiện nay thì lãi kép được tính theo kì hữu hạn, nên phải dùng công thức lãi kép.
Ví dụ mở đầu về lãi kép liên tục
Để đơn giản và dễ hiểu, ta xét ví dụ với các số nhỏ và "tròn trịa" sau đây:Ta mở một tài khoản $A=1$ (đơn vị tiền tệ nào đó, ví dụ: đô-la, đồng,...) ở ngân hàng với lãi suất $r=100\%$ mỗi năm ($r=1$). Nếu lãi suất được trả một lần, thì sau 1 năm tổng số tiền trong tài khoản là
$$B=A+A.r=A(1+r)=2$$
Nhưng nếu lãi suất được tính theo chu kì 6 tháng (lúc này lãi suất $r'=r/2 \ \ \ $) thì số tiền nhận được có nhỉnh hơn một chút:
$$B=A(1+r')^2=2.25 $$
Lãi kép hàng quý ($r'=r/4 \ \ \ $) ta được $B=A(1+r')^4 = 2.4414$.
Lãi kép hàng tháng ($r'=r/12 \ \ \ $) ta được $B=A(1+r')^{12} = 2.613035$.
Ta nhận thấy chu kì càng nhỏ thì số tiền nhận được sau một năm càng tăng. Nhưng liệu càng chia nhỏ chu kì (tới tuần, ngày, giờ, phút, giây,...) thì số tiền nhận được có tăng lên vô hạn? Rất tiếc câu trả lời là KHÔNG!
Jacob Bernoulli để ý thấy dãy này tiến tới một giới hạn với chu kì lãi kép càng ngày nhỏ dần. Lãi kép hàng tuần ta được $2.692597$, trong khi lãi kép hàng ngày ta được $2.714567$, chỉ thêm được một lượng không đáng kể (khoảng $0.02$).
Gọi $n$ là số kì lãi kép, với lãi suất $r'=r/n \ \ \ $ trong mỗi kì, thì số tiền nhận được là:
$$B_n=(1+\frac{1}{n})^n$$
Cho $n$ tiến đến vô cực thì ta được số tiền trong tài khoản là
$$B=\lim B_n = \lim (1+\frac{1}{n})^n =e$$
Như đã biết, dãy này có giới hạn là $e$ (xem trong bài: Số e là gì?); tức giá trị tài khoản sẽ tiến tới $e$ (giá trị gần đúng của $e$ là $2.71828182846$).
Công thức lãi suất kép liên tục
Tính lãi kép liên tục là làm cho kì tính lãi kép cực nhỏ. Gọi $n$ là số kì lãi kép (ví dụ nếu tính lãi theo ngày thì $n=365$, tính theo giờ thì $n=365*24=8760$) thì "chu kì cực nhỏ" có thể xem đạt được bằng cách lấy giới hạn khi $n$ tới vô cực.
Từ ví dụ mở đầu ở trên, ta có thể tổng quát lên: Một tài khoản mà bắt đầu bằng $A$ (đơn vị tiền tệ), lãi suất $r$, thì với cách tính lãi kép liên tục thì sau $t$ năm sẽ nhận được số tiền là
$$B=A.e^{rt}$$
Đó chính là công thức lãi kép liên tục.
Ví dụ: Ta gửi ngân hàng $500$ triệu đồng với lãi suất mỗi năm $r=10\%$, lãi được tính là lãi kép liên tục, thì sau $3$ năm ta nhận được tổng số tiền là
$$B=500.e^{0.1*3}=674.929403788$$
tức ta sẽ nhận được khoảng $675$ triệu đồng sau $3$ năm gửi $500$ triệu trong ngân hàng, với cách tính lãi kép liên tục.
Lưu ý: Ở chương trình toán lớp 12 và thực tế ở các ngân hàng hiện nay thì lãi kép được tính theo kì hữu hạn, nên phải dùng công thức lãi kép.
