Bài viết này giới thiệu bài toán về số chính phương trong đề Olympic Toán và Khoa học quốc tế 2019 dành cho học sinh dưới 13 tuổi (lớp 6, 7)...
Bài viết này giới thiệu bài toán về số chính phương trong đề Olympic Toán và Khoa học quốc tế 2019 dành cho học sinh dưới 13 tuổi (lớp 6, 7).
Problem: Find all positive integers n such that (n! + 2019) is a perfect square. (Here we define n! = 1 × 2 × 3 × ... × n.)
Đề bài: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số (n! + 2019) là số chính phương. (Ở đây n! = 1 × 2 × 3 × ... × n.)
- Trước hết ta chứng minh khẳng định "Một số chính phương thì chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1".
Thật vậy:
+ Ta có (2k)²= 4k² chia hết cho 4.
+ Còn (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 là số chia cho 4 dư 1.
- Vì 2019 chia 4 dư 3 và với n>3 thì n! chia hết cho 4, do đó n! + 2019 chia 4 dư 3 nên không thể là số chính phương.
- Ta thử lần lượt các giá trị từ 1 đến 3 cho n, nhận được 3! + 2019 = 2025 = 45² là số chính phương.
Vậy, n = 3 là số tự nhiên duy nhất thoả bài toán.
Đề bài toán về số chính phương
Problem: Find all positive integers n such that (n! + 2019) is a perfect square. (Here we define n! = 1 × 2 × 3 × ... × n.)
Đề bài: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số (n! + 2019) là số chính phương. (Ở đây n! = 1 × 2 × 3 × ... × n.)
Lời giải bài toán về số chính phương
- Trước hết ta chứng minh khẳng định "Một số chính phương thì chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1".
Thật vậy:
+ Ta có (2k)²= 4k² chia hết cho 4.
+ Còn (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 là số chia cho 4 dư 1.
- Vì 2019 chia 4 dư 3 và với n>3 thì n! chia hết cho 4, do đó n! + 2019 chia 4 dư 3 nên không thể là số chính phương.
- Ta thử lần lượt các giá trị từ 1 đến 3 cho n, nhận được 3! + 2019 = 2025 = 45² là số chính phương.
Vậy, n = 3 là số tự nhiên duy nhất thoả bài toán.
Theo ISMO. Người đăng: Tố Uyên.