Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác thường, vuông, đều

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác thường, tam giác vuông, tam giác đều. Tam giác thường Bán kính đường tròn ngoại tiếp...

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác thường, tam giác vuông, tam giác đều.

Tam giác thường

Bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác bất kì là khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp (giao điểm 3 đường trung trực của 3 cạnh) đến đỉnh của tam giác ($R=OA=OB=OC$, xem hình vẽ).

Công thức 1. Dùng diện tích:

$$ \boxed{R = \dfrac{abc}{4S} }$$ Trong đó:
* $a, b, c$: độ dài ba cạnh của tam giác.
* $S$: diện tích tam giác.

Ví dụ 1.

Cho tam giác có độ dài ba cạnh là $5; 7; 10$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Giải. Theo công thức Heron, diện tích $S$ của tam giác là: $$S=\sqrt{11(11-5)(11-7)(11-10)}=2\sqrt{66}\approx 16,2481.$$ Bán kính đường tròn ngoại tiếp $$ R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{5\times 7 \times 10}{4\times 2\sqrt{66}}=\frac{175\sqrt{66}}{264}\approx 5{,}39.$$

Công thức 2. Dùng Định lý sin:

$$ \boxed{R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{b}{2\sin B} = \dfrac{c}{2\sin C} }$$ Trong đó:
* $a, b, c$: độ dài ba cạnh.
* $A, B, C$: các góc đối diện với cạnh tương ứng.

Ví dụ 2.

Cho tam giác $ABC$ có $AB=12$ và $\hat C=120^\circ$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Giải. Ta có $R= \dfrac{c}{2\sin C}=\dfrac{12}{2\sin 120^\circ}=4\sqrt{3}\approx 6,928.$

Tam giác vuông

$$ \boxed{R = \dfrac{c}{2} }$$ với $c$ là độ dài cạnh huyền.

Ví dụ 3.

Cho tam giác vuông $ABC$ có hai cạnh góc vuông $AB=6$ và $AC=8$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Giải. Ta có cạnh huyền $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10.$
Suy ra $R= \dfrac{BC}{2}=\dfrac{10}{2}=5.$

Tam giác đều cạnh $a$

$$ \boxed{R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}} $$ Công thức trên suy ra từ $ R=\dfrac{a}{2\sin 60^\circ} $.

Ví dụ 4.

Cho tam giác đều có cạnh $9$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Giải. Ta có $R= \dfrac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}\approx 5,2.$