Trở lại với phương trình 'vô hạn dấu căn'

Trong bài viết trước, ta có đề cập đến phương trình chứa vô hạn dấu căn bậc hai , có dạng như sau: Đề bài Giải phương trình Để giải và b...

Trong bài viết trước, ta có đề cập đến phương trình chứa vô hạn dấu căn bậc hai, có dạng như sau:

Đề bài

Giải phương trình

Để giải và biện luận phương trình này theo tham số $a$, ta phải dùng tới kiến thức giới hạn dãy số.

Lời giải

Với $x \geq 0$, ta xét dãy số $(u_n)$ được xác định như sau:

\[ u_1 = \sqrt x ; \ \ u_n = \sqrt {x + u_{n - 1}}, \ \ n \geq 2. \]

Khi đó phương trình đã cho được viết lại:

$$\lim_{n \to \infty}u_n=a.$$

TH1. Với $x=0$, ta có $u_n=0, \forall n \in \mathbb{N^*}.$

Do đó $$\lim_{n \to \infty}u_n=0.$$

TH2. Với $x >0$, ta dễ chứng minh được:

$$0 < u_n < u_{n+1},  \forall n \in \mathbb{N^*}.$$

Suy ra:

$$ u_n^2 < u_{n+1}^2 \Rightarrow u_n^2-u_n-x < 0 $$ 

$$ \Rightarrow 0 < u_n < \frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}$$

Do đó dãy $(u_n)$ là dãy tăng và bị chặn trên, vì vậy dãy $(u_n )$ có giới hạn (hữu hạn).

Đặt $L=\displaystyle \lim_{n \to \infty}u_n$ thì $L >0$ và theo công thức xác định dãy số $(u_n )$, ta có:

$$L=\sqrt{x+L}$$

Từ đây suy ra $L=\dfrac{1+\sqrt{1+4x}}{2}.$

Tóm lại, với $x >0$, phương trình đã cho tương đương với:

$$\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}=a \ \ \ (^*) $$

Trở lại với hai phương trình đã xét trong bài trước:

1) $a=4$

Ta thấy $x=0$ không phải là nghiệm (theo TH1). 

Với $x >0$, phương trình tương đương với: $$\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}=4$$

Giải ra ta được nghiệm $x=12.$

2) $a=1$

Ta thấy $x=0$ không phải là nghiệm (theo TH1). 

Với $x >0$, phương trình tương đương với: $$\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}=1$$

Do $x>0$ nên vế trái luôn lớn hơn $1$, do đó phương trình này vô nghiệm.

Tổng quát

- Nếu $a=0$ thì phương trình đầu bài có nghiệm duy nhất $x=0.$

- Nếu $a \ne 0, a \leq 1$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu $a > 1$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=a^2-a.$

Bài viết có lấy ý tưởng của Hồ Xuân Đức.
Người đăng: Sơn Phan.