Khẳng định "có vô hạn số nguyên tố" đã được Euclid chứng minh từ cách đây hơn 2000 năm, trong tác phẩm "Cơ sở" của ông (...
Khẳng định "có vô hạn số nguyên tố" đã được Euclid chứng minh từ cách đây hơn 2000 năm, trong tác phẩm "Cơ sở" của ông (Quyển IX, Mục 20), được diễn giải như dưới đây.
Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là $$p_1, p_2, …,p_n$$ và $$p_1 < p_2 < … < p_n.$$ Xét số $$q= p_1. p_2. ... .p_n + 1. $$
Phương pháp của Euclid
Trong tác phẩm gốc, vì Euclid không có cách viết một danh sách các số nguyên tố tùy ý, ông đã sử dụng một phương pháp mà ông thường xuyên áp dụng, đó là phương pháp ví dụ khái quát. Cụ thể, ông chỉ chọn ba số nguyên tố bất kì và sử dụng phương pháp chứng minh để chứng tỏ rằng luôn có thể tìm thấy một số nguyên tố bổ sung (số $q$ bằng tích của ba số đã chọn cộng thêm $1$). Euclid có lẽ giả định rằng độc giả của ông tin chắc rằng phép chứng minh tương tự sẽ cũng đúng, bất kể có bao nhiêu số nguyên tố được chọn lúc ban đầu.
Diễn giải chứng minh của Euclid theo ngôn ngữ hiện nay
Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là $$p_1, p_2, …,p_n$$ và $$p_1 < p_2 < … < p_n.$$ Xét số $$q= p_1. p_2. ... .p_n + 1. $$
Rõ ràng $q > p_n \ $ nên $q$ là hợp số, do đó $q$ có ít nhất một ước nguyên tố $p_i, \ 1 \le i \le n.$
Mặt khác, tích $p_1.p_2…..p_n \ $ cũng chia hết cho $p_i $ nên suy ra $1$ phải chia hết cho $p_i $ (do $1=q-p_1. p_2. ... .p_n$), mâu thuẫn.
Do đó, có vô hạn (vô số) số nguyên tố.
Người đăng: MiR Math.
