Trên fanpage diễn đàn toán học Việt Nam, một học sinh có hỏi bài toán sau Bài toán . Tìm điều kiện của các số thực $x, y$ để $|x|-|y|=|x-y|...
Trên fanpage diễn đàn toán học Việt Nam, một học sinh có hỏi bài toán sau
Bài toán. Tìm điều kiện của các số thực $x, y$ để $|x|-|y|=|x-y|.$
Dưới đây là hai lời giải cho bài toán này.
Lời giải 1. (Hồ Xuân Đức)
Để đẳng thức xảy ra thì trước tiên ta phải có $|x|\ge |y|.$
Bình phương 2 vế, ta được
$x^2-2|xy|+y^2=x^2-2xy+y^2 \\ \Leftrightarrow |xy|=xy \Leftrightarrow xy \ge 0.$
Vậy $|x|-|y|=|x-y|$ khi và chỉ khi $xy \ge0$ và $|x| \ge |y|.$
Lời giải 2. (Duy Hunter)
$|x|-|y|=|x-y| \Leftrightarrow |x-y|+|y|=|x|$
$\Leftrightarrow |x-y|+|y|=|(x-y)+y| $
$\Leftrightarrow (x-y)y \ge 0$ (áp dụng tính chất ở bài trước, bấm xem lại).
Vậy $|x|-|y|=|x-y|$ khi và chỉ khi $(x-y)y \ge 0.$
Bài toán. Tìm điều kiện của các số thực $x, y$ để $|x|-|y|=|x-y|.$
Dưới đây là hai lời giải cho bài toán này.
Lời giải 1. (Hồ Xuân Đức)
Để đẳng thức xảy ra thì trước tiên ta phải có $|x|\ge |y|.$
Bình phương 2 vế, ta được
$x^2-2|xy|+y^2=x^2-2xy+y^2 \\ \Leftrightarrow |xy|=xy \Leftrightarrow xy \ge 0.$
Vậy $|x|-|y|=|x-y|$ khi và chỉ khi $xy \ge0$ và $|x| \ge |y|.$
Lời giải 2. (Duy Hunter)
$|x|-|y|=|x-y| \Leftrightarrow |x-y|+|y|=|x|$
$\Leftrightarrow |x-y|+|y|=|(x-y)+y| $
$\Leftrightarrow (x-y)y \ge 0$ (áp dụng tính chất ở bài trước, bấm xem lại).
Vậy $|x|-|y|=|x-y|$ khi và chỉ khi $(x-y)y \ge 0.$
Theo FB MathVn. Người đăng: MiR Math.