So sánh các cặp số: $π^e$ và $e^π$; $2021^{2022}$ và $2022^{2021}$

Bài toán 1. Hãy so sánh hai số $\pi^e \ \text{và} \ \ e^\pi$ (không sử dụng máy tính). Lời giải. (Hồ Xuân Đức) Xét hàm số $f(x)=\dfrac{...

Bài toán 1.

Hãy so sánh hai số $\pi^e \ \text{và} \ \ e^\pi$ (không sử dụng máy tính).

Lời giải. (Hồ Xuân Đức)

Xét hàm số $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$
trên khoảng $(0;+\infty)$.

Ta có $f'(x) = \dfrac{1-\ln x}{x^2}$
Với mọi $x\ge e$ thì $f'(x)\le 0$
và dấu bằng chỉ xảy ra tại $x=e$.
Do đó $f(x)$ nghịch biến trên $[e;+\infty)$.
Mà $\pi > e$ nên $f(\pi)< f(e)$.
$\Rightarrow \dfrac{\ln\pi}{\pi}< \dfrac{\ln e}{e}$
$\Rightarrow e\ln \pi < \pi \ln e $
$\Rightarrow \ln \pi^e < \ln e^\pi$
$\Rightarrow \pi^e< e^\pi.$

Cách khác:

Bài toán 2.

Hãy so sánh hai số $2022^{2021} \ \text{và} \ 2021^{2022}.$

Lời giải.
Với $f$ trong lời giải bài toán 1.
Ta có $2022 > 2021 >e$ nên $f(2022)< f(2021)$.
$\Rightarrow \dfrac{\ln 2022}{2022}< \dfrac{\ln 2021}{2021}$
$\Rightarrow 2021\ln 2022 < 2022 \ln 2021 $
$\Rightarrow \ln 2022^{2021}< \ln 2021^{2022}$
$\Rightarrow 2022^{2021}< 2021^{2022}.$

Cách khác (dùng kiến thức lớp 6): BẤM ĐỂ XEM

Tổng quát.

Nếu $e\le a < b$ thì $b^a < a^b$.

Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.