Tính xác suất để 3 đỉnh tạo thành một tam giác tù

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 tỉnh Quảng Bình năm học 2020-2021 (thi ngày 8/12/2020) có câu xác suất với nội dung như sau.  Đề bài t...

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 tỉnh Quảng Bình năm học 2020-2021 (thi ngày 8/12/2020) có câu xác suất với nội dung như sau. 

Đề bài toán (Câu 3a)

Cho đa giác đều 2020 cạnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều đó. Tính xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.

Lời giải 1. (Văn Sơn)

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 2020 đỉnh của đa giác đều: có $C_{2020}^3 \text{ cách.}$
Giả sử 3 đỉnh được chọn là A, B, C tạo thành tam giác tù với góc A tù (hiển nhiên B, C nhọn).

- Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh B: có $2020$ cách.
Từ B kẻ đường kính chia đường tròn thành 2 phần. Mỗi phần sẽ chứa $1009$ đỉnh của đa giác đều đã cho (không kể các đỉnh thuộc đường kính vừa kẻ).
- Để tạo thành tam giác tù thì A, C phải nằm ở cùng 1 phần.
Số cách chọn A, C là $$C_{1009}^2\ \ +C_{1009}^2$$ Vậy có $$2020(C_{1009}^2+C_{1009}^2)$$ cách chọn B, A, C để tạo thành tam giác tù. Tuy nhiên do vai trò của B và C là như nhau nên số cách chọn trên đã được "gấp đôi". Vì vậy, số tam giác tù thực sự là $$2020(C_{1009}^2+C_{1009}^2)/2 \ \ = \ \ 2020C_{1009}^2$$ Vậy xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác tù là $$P=\dfrac{2020C_{1009}^2}{C_{2020}^3}=\dfrac{504}{673}$$

Lời giải 2. (Hồ Quốc Ái)

Tổng quát cho đa giác đều $2n$ đỉnh. Tương tự như lời giải 1, số cách chọn 3 đỉnh tạo thành tam giác tù là $$2nC_{n-1}^2$$ Xác suất cần tính $$P=\dfrac{2nC_{n-1}^2}{C_{2n}^3}=\dfrac{3(n-2)}{2(2n-1)}$$ Áp dụng cho $n=1010$ ta được $$P=\dfrac{504}{673}$$ 

Xem thêm một số lời giải khác ở post này.

Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.