Giải bài bất đẳng thức khó trong đề thi đại học Trung Quốc

Câu cuối cùng của đề thi môn Toán tuyển sinh đại học ở Trung Quốc năm 2021 yêu cầu chứng minh một bất đẳng thức khá khó. Ý (2) của bài t...

Câu cuối cùng của đề thi môn Toán tuyển sinh đại học ở Trung Quốc năm 2021 yêu cầu chứng minh một bất đẳng thức khá khó.

Ý (2) của bài toán này nhận được sự tham gia bàn luận của nhiều thành viên fanpage Diễn đàn toán học VN.

Dưới đây là nhận xét và lời giải tổng hợp của thầy Philip To.

Bạn Duy Hunter đã giải bài toán theo sự biến thiên của hàm số f(x)=x(1-ln(x)). Bạn Vũ Khánh Hưng và bạn Nguyễn Tài dùng đồ thị và có nhận xét rất hay. Ngoài ra, các bạn khác cũng đưa ra những ý hay. Để dễ hiểu hơn, tôi xin ghi lại bài giải với trình độ của một học sinh trung học trung bình.

Sau đây là một số ý tưởng để giải bài toán. Trước tiên ta khảo sát hàm số f(x)=x(1- ln(x)) và biết f đồng biến trong khoảng (0,1) và nghịch biến trong khoảng (1, e). Kế đến, giả thiết bln(a)-aln(b)=a-b cho ta dạng a/b+c/d và 1/a+1/b. Và lưu ý thêm rằng ln(x)=-ln(1/x).

Sau khi biến đổi đẳng thức để có dạng của phần 1, ta cần chứng minh hai phần: 1/a+1/b>2 và 1/a+1/b < e.

Để dễ nhìn ta đặt 1/a=x₁ và 1/b=x₂. Rất khó so sánh trực tiếp tổng x₁+x₂ với 2. Vì thế ta thay bằng x₂ > 2-x₁. Và để chứng minh bất đẳng thức trên, ta xét một hàm mới là g(x)=f(x)-f(2-x) và khảo sát g(x). Cuối cùng, thay vì so sánh x₁+x₂ và e, ta so sánh x₁ và e-x₂.

Phần còn lại là ta sắp xếp sao cho có được bất đẳng thức cần tìm bằng tính chất của hàm đồng biến và nghịch biến.

Phần ghi lại những ý chính lời giải của thầy Philip (tổng hợp ý tưởng của thầy và các thành viên được nhắc trong quote).

Hình minh hoạ của thành viên Vũ Khánh Hưng.

Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.