Câu V ở đề thi môn Toán tuyển sinh lớp 10 năm học 2021-2022 của trường chuyên Khoa học Xã hội và Nhân văn (ĐHQG Hà Nội) là một bài toán tìm ...
Câu V ở đề thi môn Toán tuyển sinh lớp 10 năm học 2021-2022 của trường chuyên Khoa học Xã hội và Nhân văn (ĐHQG Hà Nội) là một bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức hai biến $a, b$.
Dưới đây là một số lời giải của các thành viên Diễn đàn Toán học VN Fanpage.
Cách 1. (Trái Cam)
Đây là cách giải chỉ dùng đến bất đẳng thức AM-GM (Cauchy).
Ta có
$ P=\sqrt{a^2+3ab^2}+\sqrt{b^2+3ba^2} =\frac{\sqrt{4a(a+3b^2)}+\sqrt{4b(b+3a^2)}}{2}\\ \\ \leq \frac{(4a+a+3b^2)+(4b+b+3a^2)}{4} = \frac{5(a+b)+3(a^2+b^2)}{4}\\ \leq \frac{5.\frac{a^2+1+b^2+1}{2}+3. 2}{4}\leq \frac{5.2+3.2}{4}=4.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1$.
Vậy $P_{max}=4.$
Cách 2. (Bình Nguyễn)
Cách này có dùng thêm bất đẳng thức Bunhiacopxki, sau khi dùng bất đẳng thức Cô-si.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1$.
Vậy $P_{max}=4.$
Cách 3. (Huy Hoàng)
Cách này dùng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki (còn gọi là Cauchy-Schwarz hoặc C.B.S).
PS: Đầy đủ đề thi này cho những ai quan tâm.
Đề bài.
Cho các số thực $a, b$ không âm và thoả mãn điều kiện $a²+b² \leq 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{a^2+3ab^2}\ \ +\sqrt{b^2+3ba^2} \ \ .$
Cách 1. (Trái Cam)
Đây là cách giải chỉ dùng đến bất đẳng thức AM-GM (Cauchy).
$ P=\sqrt{a^2+3ab^2}+\sqrt{b^2+3ba^2} =\frac{\sqrt{4a(a+3b^2)}+\sqrt{4b(b+3a^2)}}{2}\\ \\ \leq \frac{(4a+a+3b^2)+(4b+b+3a^2)}{4} = \frac{5(a+b)+3(a^2+b^2)}{4}\\ \leq \frac{5.\frac{a^2+1+b^2+1}{2}+3. 2}{4}\leq \frac{5.2+3.2}{4}=4.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1$.
Vậy $P_{max}=4.$
Cách 2. (Bình Nguyễn)
Cách này có dùng thêm bất đẳng thức Bunhiacopxki, sau khi dùng bất đẳng thức Cô-si.
Vậy $P_{max}=4.$
Cách 3. (Huy Hoàng)
Cách này dùng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki (còn gọi là Cauchy-Schwarz hoặc C.B.S).
Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.
PS: Đầy đủ đề thi này cho những ai quan tâm.
