Bài này sẽ giới thiệu một bài toán lượng giác trên fanpage Diễn đàn Toán học VN. Bài toán . Đặt $\tan 14^ \text{o}=a.$ Hãy tính $\tan 18^...
Bài này sẽ giới thiệu một bài toán lượng giác trên fanpage Diễn đàn Toán học VN.
Đặt $\tan 14^ \text{o}=a.$ Hãy tính $\tan 18^ \text{o}$ theo $a$.
Áp dụng công thức lượng giác nhân ba đối với $\tan$:
$\tan 3x=\dfrac{\tan^3 x-3\tan x}{3\tan^2 x-1}$
ta được
$\tan 42^ \text{o}=\tan (3\times 14^ \text{o})\\ =\dfrac{\tan^3 14^ \text{o}-3\tan14^ \text{o}}{3\tan^2 14^ \text{o}-1}=\dfrac{a^3-3a}{3a^2-1}$
Tiếp tục áp dụng công thức cộng lượng giác đối với $\tan$:
$\tan (x-y)=\dfrac{\tan x-\tan y}{1+\tan x.\tan y}$
ta được
$\tan 18^ \text{o}=\tan(60^ \text{o}-42^ \text{o}) =\dfrac{\tan 60^ \text{o}-\tan 42^ \text{o}}{1+\tan 60^ \text{o}\tan 42^ \text{o}}\\ =\dfrac{\sqrt{3}-\frac{a^3-3a}{3a^2-1}}{1+\sqrt{3}. \frac{a^3-3a}{3a^2-1}} =\dfrac{-a^3+3\sqrt{3}a^2+3a-\sqrt{3}}{\sqrt{3}a^3+3a^2-3\sqrt{3}a-1}.$
Bài toán.
Đặt $\tan 14^ \text{o}=a.$ Hãy tính $\tan 18^ \text{o}$ theo $a$.
Lời giải. (Trần Quang Khải)
Áp dụng công thức lượng giác nhân ba đối với $\tan$:
$\tan 3x=\dfrac{\tan^3 x-3\tan x}{3\tan^2 x-1}$
ta được
$\tan 42^ \text{o}=\tan (3\times 14^ \text{o})\\ =\dfrac{\tan^3 14^ \text{o}-3\tan14^ \text{o}}{3\tan^2 14^ \text{o}-1}=\dfrac{a^3-3a}{3a^2-1}$
Tiếp tục áp dụng công thức cộng lượng giác đối với $\tan$:
$\tan (x-y)=\dfrac{\tan x-\tan y}{1+\tan x.\tan y}$
ta được
$\tan 18^ \text{o}=\tan(60^ \text{o}-42^ \text{o}) =\dfrac{\tan 60^ \text{o}-\tan 42^ \text{o}}{1+\tan 60^ \text{o}\tan 42^ \text{o}}\\ =\dfrac{\sqrt{3}-\frac{a^3-3a}{3a^2-1}}{1+\sqrt{3}. \frac{a^3-3a}{3a^2-1}} =\dfrac{-a^3+3\sqrt{3}a^2+3a-\sqrt{3}}{\sqrt{3}a^3+3a^2-3\sqrt{3}a-1}.$
Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.
