Cấp số nhân lùi vô hạn là gì? Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ví dụ áp dụng và lời giải
Bài này nêu công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và một số ví dụ áp dụng.
Cấp số nhân vô hạn với công bội $q \in (-1;1)$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tóm lại, tổng $S$ của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ (với $|q|< 1 $) được tính theo công thức:
$$S=\frac{u_1}{1-q}.$$
Ví dụ 1. Tính tổng $$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...$$ Lời giải.
$S$ chính là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạn đầu $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.
Áp dụng công thức trên ta được $$S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1.$$ Minh hoạ và đoán nhận bằng hình ảnh
Ví dụ 2. Tính tổng $$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$$ Lời giải. Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=1; q=-\frac{1}{3}$ nên $$S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}.$$
Ví dụ 3. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn $0,777...$ dưới dạng phân số.
Lời giải. Ta có $$0,777...=0,7+0,07+0,007+...\\ =\frac{7}{10}+\frac{7}{10^2}+\frac{7}{10^3} +...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{7}{9}.$$ Vậy $0,777...=\dfrac{7}{9}.$
Định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn với công bội $q \in (-1;1)$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Tính tổng $$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...$$ Lời giải.
$S$ chính là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạn đầu $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.
Áp dụng công thức trên ta được $$S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1.$$ Minh hoạ và đoán nhận bằng hình ảnh
Ví dụ 2. Tính tổng $$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$$ Lời giải. Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=1; q=-\frac{1}{3}$ nên $$S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}.$$
Ví dụ 3. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn $0,777...$ dưới dạng phân số.
Lời giải. Ta có $$0,777...=0,7+0,07+0,007+...\\ =\frac{7}{10}+\frac{7}{10^2}+\frac{7}{10^3} +...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{7}{9}.$$ Vậy $0,777...=\dfrac{7}{9}.$
Theo SGK Toán 11. Người đăng: Mr. Math.
