Bài viết này sẽ trình bày công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian $Oxyz$ và các ví dụ minh hoạ có lời giải chi ti...
Bài viết này sẽ trình bày công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian $Oxyz$ và các ví dụ minh hoạ có lời giải chi tiết.
Khi đó, sin của góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ được tính theo công thức sau:
$\sin(\Delta,(P))=|\cos(\vec{u},\vec{n})|$ $=\dfrac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|}$ $= \dfrac{|aA+bB+cC|}{{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}.$
Từ đó ta suy ra số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian (lưu ý rằng $0^\circ \le (\Delta,(P))\le 90^\circ$).
Lời giải.
Trục $Ox$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\vec{i}=(1;0;0)$; mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(\sqrt{2};-1;1)$.
Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ta có:
$\sin(Ox,(P))=|\cos(\vec{u},\vec{n})|$ $=\dfrac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|}$ $= \dfrac{|1.\sqrt{2}+0\cdot (-1)+0\cdot 1|}{{\sqrt{1^2+0^2+0^2}.\sqrt{\sqrt{2}^2+(-1)^2+1^2}}}$ $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Suy ra $(Ox,(P))=45^\circ.$
Đáp số: $\boxed{45^\circ}.$
Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa đường thẳng $\Delta:\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+2}{3}$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+y+z+3=0.$ (BT 5.22 trang 53 SGK Toán 12).
Lời giải.
Đường thẳng $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u}=\left( -1;2;3 \right),$ mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=\left( 1;1;1 \right)$.
Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có
$\sin \left( \Delta ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( P \right) \right)=\left| \cos \left( \vec{u},\vec{n} \right) \right|$ $=\dfrac{2\sqrt{42}}{21}$ $\Rightarrow \left( \Delta ,\left( P \right) \right)=\sin^{-1}\dfrac{2\sqrt{42}}{21}\approx 38,1{}^\circ .$
Đáp số: $\boxed{38,1{}^\circ} .$
Công thức tính góc
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương (vtcp) $\vec{u}=(a; b; c)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến (vtpt) $\vec{n}=(A;B;C).$
$\sin(\Delta,(P))=|\cos(\vec{u},\vec{n})|$ $=\dfrac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|}$ $= \dfrac{|aA+bB+cC|}{{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}.$
Từ đó ta suy ra số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian (lưu ý rằng $0^\circ \le (\Delta,(P))\le 90^\circ$).
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Trong không gian $Oxyz$, tính số đo góc tạo bởi trục $Ox$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $\sqrt{2}x-y+z+5=0.$Lời giải.
Trục $Ox$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\vec{i}=(1;0;0)$; mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(\sqrt{2};-1;1)$.
Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ta có:
$\sin(Ox,(P))=|\cos(\vec{u},\vec{n})|$ $=\dfrac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|}$ $= \dfrac{|1.\sqrt{2}+0\cdot (-1)+0\cdot 1|}{{\sqrt{1^2+0^2+0^2}.\sqrt{\sqrt{2}^2+(-1)^2+1^2}}}$ $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Suy ra $(Ox,(P))=45^\circ.$
Đáp số: $\boxed{45^\circ}.$
Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa đường thẳng $\Delta:\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+2}{3}$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+y+z+3=0.$ (BT 5.22 trang 53 SGK Toán 12).
Lời giải.
Đường thẳng $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u}=\left( -1;2;3 \right),$ mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=\left( 1;1;1 \right)$.
Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có
$\sin \left( \Delta ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( P \right) \right)=\left| \cos \left( \vec{u},\vec{n} \right) \right|$ $=\dfrac{2\sqrt{42}}{21}$ $\Rightarrow \left( \Delta ,\left( P \right) \right)=\sin^{-1}\dfrac{2\sqrt{42}}{21}\approx 38,1{}^\circ .$
Đáp số: $\boxed{38,1{}^\circ} .$
