Giải bài tập 4.15 SGK Toán 12 KNTT Tập 2, về nội dung tính diện tích hình phẳng trong bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân. Giải bài 4.1...
Giải bài tập 4.15 SGK Toán 12 KNTT Tập 2, về nội dung tính diện tích hình phẳng trong bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân.
$S=\int\limits_{-1}^{1}{\left| {{e}^{x}}-{{x}^{2}}+1 \right|\text{d}}x$ $=\int\limits_{-1}^{1}{({{e}^{x}}-{{x}^{2}}+1)~\text{d}x}$ $=\left( {{e}^{x}}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+x \right)\left| \begin{align} & 1 \\ & -1 \\ \end{align} \right.$ $=e-\dfrac{1}{3}+1-\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{3}+1$ $=e-\dfrac{1}{e}+\dfrac{4}{3}.$
$S=\int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\pi }{\left| \sin x-x \right|\text{d}x}$ $=\int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\pi }{\left( x-\sin x \right)~\text{d}x}$ $=\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\cos x \right)\left| \begin{align} & \pi \\ & \dfrac{\pi }{2} \\ \end{align} \right.$ $=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{2}-1-\dfrac{{{\pi }^{2}}}{8}$ $=\dfrac{3{{\pi }^{2}}}{8}-1.$
$S=\int\limits_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}{\left| 9-{{x}^{2}}-2{{x}^{2}} \right|\text{d}x}$ $=\int\limits_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}{\left( 9-3{{x}^{2}} \right)\text{d}x}$ $=\left( 9x-{{x}^{3}} \right)\left| \begin{align} & \sqrt{3} \\ & -\sqrt{3} \\ \end{align} \right.$ $=12\sqrt{3}.$
$S=\int\limits_{0}^{1}{\left| \sqrt{x}-{{x}^{2}} \right|\text{d}x}$ $=\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{x}-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}$ $=\left( \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)\left| \begin{align} & 1 \\ & 0 \\ \end{align} \right.$ $=\dfrac{1}{3}.$
Giải bài 4.15a
Vì ${{e}^{x}}>{{x}^{2}}-1,~\forall x\in \left( -1;1 \right)~$ nên diện tích hình phẳng cần tính là$S=\int\limits_{-1}^{1}{\left| {{e}^{x}}-{{x}^{2}}+1 \right|\text{d}}x$ $=\int\limits_{-1}^{1}{({{e}^{x}}-{{x}^{2}}+1)~\text{d}x}$ $=\left( {{e}^{x}}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+x \right)\left| \begin{align} & 1 \\ & -1 \\ \end{align} \right.$ $=e-\dfrac{1}{3}+1-\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{3}+1$ $=e-\dfrac{1}{e}+\dfrac{4}{3}.$
Giải bài tập 4.15b
Vì $x>\sin x,~\forall x\in \left( \dfrac{\pi }{2};\pi \right)$ nên diện tích hình phẳng cần tính là$S=\int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\pi }{\left| \sin x-x \right|\text{d}x}$ $=\int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\pi }{\left( x-\sin x \right)~\text{d}x}$ $=\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\cos x \right)\left| \begin{align} & \pi \\ & \dfrac{\pi }{2} \\ \end{align} \right.$ $=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{2}-1-\dfrac{{{\pi }^{2}}}{8}$ $=\dfrac{3{{\pi }^{2}}}{8}-1.$
Giải bài 4.15c
Diện tích hình phẳng cần tính là$S=\int\limits_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}{\left| 9-{{x}^{2}}-2{{x}^{2}} \right|\text{d}x}$ $=\int\limits_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}{\left( 9-3{{x}^{2}} \right)\text{d}x}$ $=\left( 9x-{{x}^{3}} \right)\left| \begin{align} & \sqrt{3} \\ & -\sqrt{3} \\ \end{align} \right.$ $=12\sqrt{3}.$
Giải bài tập 4.15d
Diện tích hình phẳng cần tính là$S=\int\limits_{0}^{1}{\left| \sqrt{x}-{{x}^{2}} \right|\text{d}x}$ $=\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{x}-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}$ $=\left( \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)\left| \begin{align} & 1 \\ & 0 \\ \end{align} \right.$ $=\dfrac{1}{3}.$
