Giải bài tập 4.4 Bài 11 Nguyên Hàm SGK Toán 12 Tập 2 bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống. 4.4. Biến đổi biểu thức lượng giác và dùng tín...
Giải bài tập 4.4 Bài 11 Nguyên Hàm SGK Toán 12 Tập 2 bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống.
4.4. Biến đổi biểu thức lượng giác và dùng tính chất của nguyên hàm.
Đáp số. $\int{\left( 2\cos x-\dfrac{3}{{{\sin }^{2}}x} \right)\text{d}x}=2\sin x+3\cot x+C.$
Đáp số. $\int{4{{\sin }^{2}}\dfrac{x}{2}\text{d}x}=2\left( x-\sin x \right)+C.$
Đáp số. $\int{{{\left( \sin \dfrac{x}{2}-\cos \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}\text{d}x}=x+\cos x+C.$
$\int{\left( x+{{\tan }^{2}}x \right)\text{d}x}=\int{\left( x-1+\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x} \right)\text{d}x}$ $=\int{x\text{d}x}-\int{\text{d}x}+\int{\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x}.$
Đáp số. $\int{\left( x+{{\tan }^{2}}x \right)\text{d}x}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-x+\tan x+C$.
4.4. Biến đổi biểu thức lượng giác và dùng tính chất của nguyên hàm.
Giải bài tập 4.4 a
a) Dùng bảng các nguyên hàm cơ bản.Đáp số. $\int{\left( 2\cos x-\dfrac{3}{{{\sin }^{2}}x} \right)\text{d}x}=2\sin x+3\cot x+C.$
Giải bài tập 4.4 b
b) Biến đổi $4{{\sin }^{2}}\dfrac{x}{2}=4\cdot \dfrac{1-\cos x}{2}$ $=2\left( 1-\cos x \right)$.Đáp số. $\int{4{{\sin }^{2}}\dfrac{x}{2}\text{d}x}=2\left( x-\sin x \right)+C.$
Giải bài tập 4.4 c
c) Biến đổi ${{\left( \sin \dfrac{x}{2}-\cos \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}$ $={{\sin }^{2}}\dfrac{x}{2}-2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}+{{\cos }^{2}}\dfrac{x}{2}$ $=1-\sin x$.Đáp số. $\int{{{\left( \sin \dfrac{x}{2}-\cos \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}\text{d}x}=x+\cos x+C.$
Giải bài tập 4.4 d
d) Sử dụng công thức biến đổi $1+{{\tan }^{2}}x=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}$ ta được$\int{\left( x+{{\tan }^{2}}x \right)\text{d}x}=\int{\left( x-1+\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x} \right)\text{d}x}$ $=\int{x\text{d}x}-\int{\text{d}x}+\int{\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x}.$
Đáp số. $\int{\left( x+{{\tan }^{2}}x \right)\text{d}x}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-x+\tan x+C$.