Giải bài tập Nguyên hàm 4.1 và 4.2 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức với cuộc sống. Giải bài tập 4.1 trang 11 a) ${F}'\left(...
Giải bài tập Nguyên hàm 4.1 và 4.2 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức với cuộc sống.
b) $F\left( x \right)={{e}^{\sin x}}$ không là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{e}^{\cos x}}$ trên $\mathbb{R}$.
Đáp số. $\int{\left( 3{{x}^{2}}+2x-1 \right)\text{d}x}={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+C.$
b) Đáp số. $\int{\left( {{x}^{3}}-x \right)\text{d}x}=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{2}}}{2}+C.$
c) Ta có ${{\left( {{\left( 2x+1 \right)}^{3}} \right)}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}=3{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}{{\left( 2x+1 \right)}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}=6{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}$.
Do đó $\frac{{{\left( 2x+1 \right)}^{3}}}{6}$ là một nguyên hàm của hàm số ${{\left( 2x+1 \right)}^{2}}$ trên $\mathbb{R}$.
Vậy $\int{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}\text{d}x}=\frac{{{\left( 2x+1 \right)}^{3}}}{6}+C.$
Cách khác: khai triển hằng đẳng thức và dùng tính chất của nguyên hàm kết hợp với bảng nguyên hàm.
d) Ta có $f\left( x \right)={{\left( 2x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}=4{{x}^{2}}-4+\frac{1}{{{x}^{2}}}$ nên $\int{{{\left( 2x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}\text{d}x}=\int{4{{x}^{2}}\text{d}x}-\int{4\text{d}x}+\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}\text{d}x}=\frac{4{{x}^{3}}}{3}-4x-\frac{1}{x}+C.$
Giải bài tập 4.1 trang 11
a) ${F}'\left( x \right)=\ln x+x{{\left( \ln x \right)}^{\prime }}=\ln x+1=f\left( x \right)$ với mọi $x\in \left( 0;+\infty \right)$ nên hàm số $F\left( x \right)=x\ln x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=1+\ln x$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.b) $F\left( x \right)={{e}^{\sin x}}$ không là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{e}^{\cos x}}$ trên $\mathbb{R}$.
Giải bài 4.2 Nguyên hàm
a) Dùng định nghĩa hoặc tính chất nguyên hàm của một tổng, hiệu.Đáp số. $\int{\left( 3{{x}^{2}}+2x-1 \right)\text{d}x}={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+C.$
b) Đáp số. $\int{\left( {{x}^{3}}-x \right)\text{d}x}=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{2}}}{2}+C.$
c) Ta có ${{\left( {{\left( 2x+1 \right)}^{3}} \right)}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}=3{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}{{\left( 2x+1 \right)}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}=6{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}$.
Do đó $\frac{{{\left( 2x+1 \right)}^{3}}}{6}$ là một nguyên hàm của hàm số ${{\left( 2x+1 \right)}^{2}}$ trên $\mathbb{R}$.
Vậy $\int{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}\text{d}x}=\frac{{{\left( 2x+1 \right)}^{3}}}{6}+C.$
Cách khác: khai triển hằng đẳng thức và dùng tính chất của nguyên hàm kết hợp với bảng nguyên hàm.
d) Ta có $f\left( x \right)={{\left( 2x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}=4{{x}^{2}}-4+\frac{1}{{{x}^{2}}}$ nên $\int{{{\left( 2x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}\text{d}x}=\int{4{{x}^{2}}\text{d}x}-\int{4\text{d}x}+\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}\text{d}x}=\frac{4{{x}^{3}}}{3}-4x-\frac{1}{x}+C.$