Đề bài toán Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng $2$. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một ...
Đề bài toán
Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng $2$. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_2$ (như hình vẽ minh họa bên dưới). Từ hình vuông $C_2$ lại làm như trên ta nhận được hình vuông $C_3$. Tiếp tục như vậy ta có dãy vô hạn các hình vuông $C_1, C_2, C_3, \ldots$.Với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$, gọi $S_n$ là diện tích của hình vuông $C_n$. Tính tổng: $ T=S_1+S_2+\cdots+S_n+\cdots $ $\displaystyle= \sum_{n=1}^{\infty} S_n$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Lời giải
Cạnh của hình vuông $C_1$ là $a_1=2$. Diện tích hình vuông $C_1$ là: $S_1=a_1^2=2^2=4.$Cạnh của hình vuông $C_2$ là $a_2=\sqrt{\left(\dfrac{a_1}{4}\right)^2+\left(\dfrac{3a_1}{4}\right)^2}=\dfrac{a_1\sqrt{10}}{4}.$ Diện tích hình vuông $C_2$ là: $S_2=a_2^2=a_1^2.\dfrac{10}{16}=S_1.\dfrac{5}{8}.$
Cạnh của hình vuông $C_3$ là $a_3=\sqrt{\left(\dfrac{a_2}{4}\right)^2+\left(\dfrac{3a_2}{4}\right)^2}=\dfrac{a_2\sqrt{10}}{4}.$ Diện tích hình vuông $C_3$ là: $S_3=a_3^2=a_2^2.\dfrac{10}{16}=S_2.\dfrac{5}{8}.$
Tương tự ta thiết lập được công thức $S_{n+1}=S_n.\dfrac{5}{8}, \forall n \in \mathbb{N}^*.$
Vậy ($S_n$) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $q=\dfrac{5}{8}.$
Do đó tổng $T=S_1+S_2+\ldots+S_n+\ldots $ $= \dfrac{S_1}{1-q}=\dfrac{4}{1-\dfrac{5}{8}}$ $=\dfrac{32}{3}\approx 10,7.$
